Relazione tra due insiemi
Buongiorno,
Definizione di relazione:
Sia $G$ sottoinsieme $S "x" T$, la coppia $R=(S"x"T,G)$ è detta relazione tra $S$ e $T$ avente $G$ come grafico.
Non riesco a formalizzare il concetto che $R subseteq S"x"T$ per come è stata definita. Oppure è solo una terminologia per identificare che stiamo lavorando con gli elementi del prodotto cartesiano $S"x"T$ avente per grafico $G$ ?
Ciao
Definizione di relazione:
Sia $G$ sottoinsieme $S "x" T$, la coppia $R=(S"x"T,G)$ è detta relazione tra $S$ e $T$ avente $G$ come grafico.
Non riesco a formalizzare il concetto che $R subseteq S"x"T$ per come è stata definita. Oppure è solo una terminologia per identificare che stiamo lavorando con gli elementi del prodotto cartesiano $S"x"T$ avente per grafico $G$ ?
Ciao
Risposte
Ciao,
non so se sia la risposta che cerchi, ma intanto riformulerei così.
Dati due insiemi $S, T$ e due elementi $x \in S, y \in T$, per definizione di prodotto cartesiano è $(x,y) \in S \times T$. Ora, dato un qualsiasi sottoinsieme $G \subseteq S \times T$ ci possiamo chiedere se, in particolare, $(x,y) \in G$; se è così, diremo che "$x$ e $y$ sono in relazione di grafico $G$".
non so se sia la risposta che cerchi, ma intanto riformulerei così.
Dati due insiemi $S, T$ e due elementi $x \in S, y \in T$, per definizione di prodotto cartesiano è $(x,y) \in S \times T$. Ora, dato un qualsiasi sottoinsieme $G \subseteq S \times T$ ci possiamo chiedere se, in particolare, $(x,y) \in G$; se è così, diremo che "$x$ e $y$ sono in relazione di grafico $G$".
Ciao luca69 grazie per la risposta.
Si di fatto se prendo la $(x,y) in G$ questa per poter appartenere all'insieme $G$ deve soddisfare una certa proprietà $R$ ossia la proprietà sarebbe la relazione ?
Si di fatto se prendo la $(x,y) in G$ questa per poter appartenere all'insieme $G$ deve soddisfare una certa proprietà $R$ ossia la proprietà sarebbe la relazione ?
Sì, in un certo senso. Ma, forse ancora più precisamente: se $P_G$ è la proprietà caratteristica dell'insieme $G \subseteq S\times T$, allora la relazione $R$ è definita da
$$xRy \stackrel{(def.)}{\Longleftrightarrow}P_G((x,y))$$
che poi non è altro che dire
$$xRy \stackrel{(def.)}{\Longleftrightarrow}(x,y)\in G$$
Ad esempio, se $G:=\{(x,y)\in ZZ\times ZZ | x+y=10\}$, vedi che $-2R12$ mentre $4 \cancel{R} 5$.
$$xRy \stackrel{(def.)}{\Longleftrightarrow}P_G((x,y))$$
che poi non è altro che dire
$$xRy \stackrel{(def.)}{\Longleftrightarrow}(x,y)\in G$$
Ad esempio, se $G:=\{(x,y)\in ZZ\times ZZ | x+y=10\}$, vedi che $-2R12$ mentre $4 \cancel{R} 5$.
Si luca69, ti ringrazio per la risposta, ma il mio problema è un altro, forse non mi sono espresso bene, ossia ho la definizione di relazione
per come è stata definita, non collego il fatto che $R$ sia un sottoinsieme di $S"x"T$, tutto quà.
Ripeto è solo una terminologia per indicare che si lavora con coppie ordinate del prodotto cartesiano $S"x"T$ avente per grafico $G$ ?
"Pasquale 90":
Definizione di relazione:
Sia $ G $ sottoinsieme $ S "x" T $, la coppia $ R=(S"x"T,G) $ è detta relazione tra $ S $ e $ T $ avente $ G $ come grafico.
per come è stata definita, non collego il fatto che $R$ sia un sottoinsieme di $S"x"T$, tutto quà.
Ripeto è solo una terminologia per indicare che si lavora con coppie ordinate del prodotto cartesiano $S"x"T$ avente per grafico $G$ ?
Proprio stando alla definizione che hai riportato non vedo perchè $R$ debba intendersi come un sottoinsieme di $S \times T$. $R$ è quella coppia lì, il cui secondo elemento -quello sì- è un sottoinsieme di $S \times T$.
Ragazzi, non facciamoci intrappolare dal formalismo 
La definizione che ritengo più pulita è questa: una relazione tra due insiemi $A$ e $B$ è un sottoinsieme $R$ del prodotto cartesiano $AxxB$.
Chiaro che se uno riceve solo $R$ non sa chi sono $A$ e $B$ (perché potrebbero esserci elementi di $A$ che non appaiono in nessuna prima componente degli elementi di $R$, e lo stesso vale per $B$) quindi quando si definisce una relazione si devono anche dare i due insiemi $A$ e $B$. E questo è sostanzialmente tutto.
Posso anche dire che una relazione è una tripla $(A,B,R)$ dove $A,B$ sono insiemi e $R$ è un sottoinsieme di $AxxB$. L'importante è capirsi.
Un esempio con cui di solito si ha più confidenza:
Una funzione è per definizione una tripla $(A,B,F)$ dove $A,B$ sono insiemi e $F$ è un sottoinsieme di $AxxB$ tale che per ogni $a in A$ esiste un unico $b in B$ tale che $(a,b) in F$.
Questa definizione formale di funzione ci impedisce forse di lavorare con le funzioni come sempre facciamo? (cioè scrivendo $f(a)=b$ invece di $(a,b) in F$)? No, chiaro. E lo stesso vale per le relazioni.
Per chiarire: non c'è un unico modo di definire un dato oggetto matematico.
La definizione che ritengo più pulita è questa: una relazione tra due insiemi $A$ e $B$ è un sottoinsieme $R$ del prodotto cartesiano $AxxB$.
Chiaro che se uno riceve solo $R$ non sa chi sono $A$ e $B$ (perché potrebbero esserci elementi di $A$ che non appaiono in nessuna prima componente degli elementi di $R$, e lo stesso vale per $B$) quindi quando si definisce una relazione si devono anche dare i due insiemi $A$ e $B$. E questo è sostanzialmente tutto.
Posso anche dire che una relazione è una tripla $(A,B,R)$ dove $A,B$ sono insiemi e $R$ è un sottoinsieme di $AxxB$. L'importante è capirsi.
Un esempio con cui di solito si ha più confidenza:
Una funzione è per definizione una tripla $(A,B,F)$ dove $A,B$ sono insiemi e $F$ è un sottoinsieme di $AxxB$ tale che per ogni $a in A$ esiste un unico $b in B$ tale che $(a,b) in F$.
Questa definizione formale di funzione ci impedisce forse di lavorare con le funzioni come sempre facciamo? (cioè scrivendo $f(a)=b$ invece di $(a,b) in F$)? No, chiaro. E lo stesso vale per le relazioni.
Per chiarire: non c'è un unico modo di definire un dato oggetto matematico.
Buonasera, grazie per le risposte. Tutto questo formalismo mi distrugge 
Vedo che ci troviamo sul fatto che la definizione che ho dato "non è molto pulità".
Invece mi trovo benissimo con la definzione che hai dato tu @Martino.
Comunque chiederò ai ragazzi la definzione cha hato la prof. perchè questa lezione io non c'ero.
Vedo che ci troviamo sul fatto che la definizione che ho dato "non è molto pulità".
Invece mi trovo benissimo con la definzione che hai dato tu @Martino.
Comunque chiederò ai ragazzi la definzione cha hato la prof. perchè questa lezione io non c'ero.
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