Quaternioni come gruppo di ordine 8

[Studente Anonimo]

Riguardando un vecchio esercizio mi sono venuti un paio di dubbi:
Definiamo i quaternioni \( \mathbf{Q} \) come il sottogruppo \( \left< A,B \right> \) di \( GL_2(\mathbb{C}) \) generato dalle matrici
\[ A=\begin{pmatrix}
0& 1\\
-1& 0
\end{pmatrix}\]
e \[ B=\begin{pmatrix}
0& i\\
i& 0
\end{pmatrix}\]
Dare tutti gli elementi di \( \mathbf{Q} \) in termini di \( A \) e \(B \) e dimostra che l'ordine di \( \mathbf{Q} \) è 8.

Allora chiaramente abbiamo che \( A^2 = - I \), \( A^3 = -A \) e \( A^4 = I \)
inoltre abbiamo che \( B^2 = - I \), \( B^3 = -B \) e \( B^4 = I \) inoltre risulta che \( AB= -BA \)
mi domandavo possiamo scrivere dunque
\( \mathbf{Q}= \{ I,-I,A,-A,B,-B, AB,-AB\} \) ??
La cosa che mi suona molto strana è che l'ordine è 8, infatti i quaternioni contengono infiniti elementi siccome l'insieme dei quaternioni è isomorfo \( \mathbb{R}^4 \), ma così sembra quasi che ne contenga solo 8...
I sotto gruppi sono quello triviale, \( \left< A \right> \),\( \left< B \right> \), \( \left< AB \right> \) e \( \mathbf{Q} \) stesso.

[Studente Anonimo]

Il fatto che $AB=-BA$ implica che qualsiasi elemento del gruppo generato da $A$ e $B$ è del tipo $A^nB^m$ oppure $-A^nB^m$ (dove $n,m$ sono interi qualsiasi).

Infatti un elemento di tale gruppo è un prodotto di potenze intere di $A$ e potenze intere di $B$, e quindi per esempio

$ABA=A(-AB)=-A^2B$.

Questo dovrebbe aiutarti moltissimo a dedurre che in tale gruppo ci sono solo un numero finito di elementi. Quanti?

L'algebra dei quaternioni è un'altra cosa (cerca su google).

[Studente Anonimo]

"Martino":Il fatto che $AB=-BA$ implica che qualsiasi elemento del gruppo generato da $A$ e $B$ è del tipo $A^nB^m$ oppure $-A^nB^m$ (dove $n,m$ sono interi qualsiasi).

Infatti un elemento di tale gruppo è un prodotto di potenze intere di $A$ e potenze intere di $B$, e quindi per esempio

$ABA=A(-AB)=-A^2B$.

Questo dovrebbe aiutarti moltissimo a dedurre che in tale gruppo ci sono solo un numero finito di elementi. Quanti?

L'algebra dei quaternioni è un'altra cosa (cerca su google).

Chiaramente 8 poiché potremmo avere \( A^nB^m \) oppure \(- A^n B^m \), con \( n = 0 \) e \( m \neq 0 \) e risulta che pertanto che formiamo gli elementi \( I, -I, B,-B \).
con \( n \neq 0 \) e con \( m =0 \) e abbiamo \( I, -I, A,-A \).
se e \(1 \leq n, m \leq 4 \) abbiamo 4 elementi
Fissiamo \( n =1 \) allora gli elementi possibili sono
\( A^n B^m = A \) sse \( m=4\)
\( A^n B^m = A(-B)=-AB \) sse \( m=3 \)
\( A^n B^m = -A \) sse \(m= 2 \)
\( A^n B^m = AB \) sse \( m=1 \).

Fissiamo \( n =2 \) allora gli elementi possibili sono
\( A^n B^m = A^2=-I \) sse \( m=4\)
\( A^n B^m = A^2(-B)=-A^2B=B \) sse \( m=3 \)
\( A^n B^m = -A^3=A \) sse \(m= 2 \)
\( A^n B^m = A^2B=-B \) sse \( m=1 \).

Fissiamo \( n =3 \) allora gli elementi possibili sono
\( A^n B^m = A^3=-A \) sse \( m=4\)
\( A^n B^m = A^3(-B)=-A^3B=-AB \) sse \( m=3 \)
\( A^n B^m = -A^3=A \) sse \(m= 2 \)
\( A^n B^m = A^3B=AB \) sse \( m=1 \).

Fissiamo \( n =4 \) allora gli elementi possibili sono
\( A^n B^m = A^4=I \) sse \( m=4\)
\( A^n B^m = A^4(-B)=-B \) sse \( m=3 \)
\( A^n B^m = -A^4=-I \) sse \(m= 2 \)
\( A^n B^m = A^4B=B \) sse \( m=1 \).

Se \(n,m> 4 \) o \( n,m < 1 \) allora \( n=4x+y \) e \( m=4k+r \) per qualche \(x,k \in \mathbb{Z} \) e per \( 0\leq r ,y\leq 3 \)
Dunque
\( A^n B^m= A^y B^r \) riportandoci ai casi sopra.

Dunque abbiamo solo 8 elementi.

Ahh okay quindi non sono "gli stessi" quaternioni, nel senso che costruisci una struttura differente con gli usuali elementi della base dei quaternioni visto come spazio vettoriale, o visti come corpo.