Caratterizzazione dell'iniettività.

[Pasquale 90]

Buongiorno, devo provare la seguente caratterizzazione dell'iniettività di una funzione.
Siano $S,T$ non vuoti.
Provare che

$f:S to T$ è iniettiva se e soltanto se per ogni coppia $(X,Y) subseteq S$ da $f(X) subseteq f(Y)$ segue $X subseteq Y$

$to$ quindi dobbiamo provare che per ogni coppia di sottoinsiemi $X,Y$ di $S$ da $f(X) subseteq f(Y)$ segue che $X subseteq Y.$

Sia

$y in f(X) \ to \ exists x_1 in X \ : \ y= f(x_1) $

essendo che $f(X) subseteq f(Y)$ si ha che

$y in f(Y) \ to \ exists x_2 in X \ : \ y= f(x_2)$

dall'ipotesi che $f$ è iniettiva si ha che $f(x_1)=f(x_2) \ to \ x_1=x_2$. Quindi abbiamo provato $x_1 in X \ to \ x_1 in Y $, dalla generalità di $y$ ne segue la tesi.

\(\displaystyle \gets \) dobbiamo provare che $f$ è iniettiva.
Per ipotesi sappiamo che $X subseteq Y \ to \ exists x_2 in Y \ :\ x_2 ne x_1 $ dove $x_1 in X$.

Inoltre
$f(X)={f(x) \ :\ x in X}$ allora $exists x_1 in X \ :\ y=f(x_1)$
$f(Y)={f(x) \ :\ x in Y}$ allora $exists x_2 in Y \ :\ y=f(x_2)$

essendo che $f(X) subseteq f(Y)$ si ha

\(\displaystyle f(x_1) \in f(X) \to f(x_1) \notin f(Y) \)

\(\displaystyle f(x_2) \in f(Y) \to f(x_2) \notin f(X) \)

cioè \(\displaystyle f(x_1) \ne f(x_2) \), $f $ iniettiva.

Può andare bene ?


Ciao

[marco.ruggiero]

Per la prima parte va bene, comunque sia, ti propongo un'alternativa (forse) più immediata:

$x in X=>f(x) in f(X) sube f(Y)=>EE y in Y:f(x)=f(y)=>x=y=>x in Y$

Per la seconda parte, parti dall'ipotesi che, qualunque siano i sottoinsiemi $X$ e $Y$ di $S$, vale l'implicazione $f(X) sube f(Y)=> X sube Y$, e devi provare che, qualunque siano gli elementi $x$ e $y$ di $S$ tali che $f(x)=f(y)$, si ha che $x=y$. Quindi:

$f(x)=f(y)=>f({x})=f({y})(<=>f({x}) sube f({y}) e f({y}) sube f({x}))$,quindi per ipotesi, ${x}={y}=>x=y$

[Pasquale 90]

Ciao mario, ti ringrazio per la risposta, molto chiara.
Ti vorrei chiedere sempre per la seconda parte, si potrebbe procedere anche cosi:

siano $x,y \ :\ x in X \ "e" \ y in Y \: \ x ne y$ e siano immagini di $f(x)$ e $f(y)$ rispettivamente.
Sia $f(X) subseteq f(Y) to exists f(y) in f(Y) : \ f(y) notin f(X) \ to forall f(x) in f(X) $ segue che $f(x) ne f(y)$

Presumo che l'errore sia nella prima implicazione, giusto ?

Lo so è simile a quella precedente, ma ci sono degli errori in alcuni passaggi che ora me ne sono accorto.

Grazie.