Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Siete al corrente di qualche costruzione geometrica che consenta di trasportare la lunghezza del raggio su quella della circonferenza associata?
Un fatto simpatico che dimostra un affare combinatorio con l'algebra lineare.
Sia \(S\) un insieme finito, \(|S|=n\); si consideri lo spazio vettoriale \(V\) di dimensione \(2^n\) di tutte le funzioni \(2^S \to \mathbb{R}\), e l'applicazione \(\varphi : V \to V\) definita da
\[\varphi(f) : T \mapsto \sum_{Y\supseteq T} fY\]Mostrare che \(\varphi\) è un isomorfismo.
\((\star\star)\) Calcolare \(\det \varphi\).
Un fatto simpatico che ho imparato oggi: forse c'è una dimostrazione più semplice, che non fa uso di un "trucco" (come si dice in italiano "swindle"?).
Se \(A,B,C\) sono insiemi finiti, ed esiste una biiezione \(A\sqcup C\cong B\sqcup C\), allora esiste una biiezione \(A\cong B\); chiaramente (?) è falso per insiemi infiniti.
E' in effetti vera una cosa più forte: se si chiamano
- \({\sf B}(X,Y)\) l'insieme delle biiezioni tra l'insieme $X$ e l'insieme $Y$;
- ...
Sia \( d \geq 2 \) un intero privo di quadrati, e consideriamo l'equazione di Pell, i.e.
\[ x^2 -d y^2 = 1 \]
a) Per \( z = a + b \sqrt{d} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}] =:A \), definiamo \( \overline{z} = a- b \sqrt{d} \) e \(N(z)= z \overline{z} \). Dimostra che \(N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2) \) e che l'insieme delle soluzioni \( A_1^{\times} \) dell'equazione di Pell formano un sottogruppo di \( A^{\times} \).
b) Dimostra che \( \phi : A_1^{\times} \to (\mathbb{R},+) \), \( a +b \sqrt{d} \mapsto \log ...
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Studente Anonimo
15 mar 2021, 18:34
Salve ragazzi sto cercando di risolvere il seguente esercizio:
Se A e B sono due insiemi che hanno n elementi, quante possibili funzioni
f : A → B biunivoche si possono costruire?
però non ho capito bene come impostarlo , come considerazioni ho pensato che se A e B sono formati da n elementi le possibili funzioni sono date da b^a=n , però per determinare quelle biunivoche non saprei come procedere , potreste per favore darmi una mano?
Sia \( \zeta_p \) una radice primitiva \(p\)-esima dell'unità, \(p\) un numero primo dispari. Definiamo
\[ \tau = \sum_{ a \in \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} } \left( \frac{a}{p} \right) \zeta_p^{a} \]
Dove \( \left( \frac{ \cdot }{p} \right) \) è simbolo di Legendre.
Dimostra che l'ideale \((q,\tau)=1\) in \( \mathbb{Z}[\zeta_p] \) (hint \((q,\tau^2 ) \subseteq (q,\tau) \)).
Io ho dimostrato che \( \tau^2 = \left( \frac{ -1}{p} \right)p \). Immagino che \( (q,\tau) = 1 \) ...
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Studente Anonimo
13 mar 2021, 04:28
Dimostra che il simbolo di Legendre è l'unico carattere reale non banale su \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \).
Io ho pensato a questo: Denotiamo con \( G_{\mathbb{R} } \) il gruppo dei caratteri reali su \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \) e con \( G_{\mathbb{C}} \) il gruppo dei caratteri complessi su \( \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \).
Sia \( \chi : \left( \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \right)^{\times} \to \mathbb{R}^* \) un carattere non ...
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Studente Anonimo
12 mar 2021, 20:20
Sapete dirmi come si calcola l’insieme quoziente? Ad esempio in
$f:(a,b)\in NxN \iff a^2 +b^2 \in N$
La cardinalita dell’ insieme quoziente A/~ come lo posso calcolare?
Dato il polinomio $f(x) = x^(p^2)-x^p-1 in ZZ[x]$
Per $p = 3$, determinare una fattorizzazione della riduzione di $f(x)$ modulo $3$ in $ZZ_3[x]$.
Per definizione: $f(x)=[1]_3*x^9+[-1]_3*x^3+[-1]_3=x^9+[2]_3*x^3+[2]_3$ è la sua riduzione...
Come posso fattorizzarlo?
Con Ruffini non posso fattorizzarlo, perchè non trovo radici...
1)Siano date, $S_24$ , le permutazioni $\sigma$, di struttura ciclica $(6,5,4,3,1,1,1,1,1,1)$, e $\sigma$ , di
struttura ciclica $(11,7,3,3)$. Provare che l’intersezione $<\sigma>nn<\tau>$ è il sottogruppo banale.
Io ho provato a svolgerlo così, ma sul finire mi blocco...
L'ordine di $<\sigma>$ è 60, mentre quello di $<\tau>$ è 231, allora se considero la loro intersezione, ogni elemento avrà un periodo che dovrà dividere sia 60 che 231 e quindi il ...
Spero sia la sezione adatta, comunque spiego il mio problema. Ho un numero n a 24 cifre e vorrei calcolare
$a^{n-1}$ (mod n), dove $a=2,3,5,7,11$. Conosco algoritmi per sviluppare queste potenze, il problema è che essendo $n$ oltremodo grande non può essere rappresentato in macchina. Come posso fare? C'è qualche trucco o proprietà particolari da sfruttare (conosco il numero n ma su di lui so ben poco, ad es. non so se è primo)?
Sia \( \mathbb{F} \) un campo di caratteristica diversa da 2. Definiamo l'anello dei quaternioni su \( \mathbb{F} \), denotato \( \mathbb{H}_{\mathbb{F}} \), come spazio vettoriale su \( \mathbb{F} \) dato da
\[ \mathbb{H}_{\mathbb{F}} = \mathbb{F} \oplus \mathbb{F} i \oplus \mathbb{F} j \oplus \mathbb{F} k \]
insieme alla struttura di anelli data da
\[ i^2=j^2=k^2 = -1 \]
\[ ij = -ji \]
e
\[ k = ij \]
Per \( q = x + yi + zj + wk \) definiamo \( \overline{q} = x - yi - zj - wk \) e \( N(q) = q ...
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Studente Anonimo
28 feb 2021, 15:55
Dato in $S_18$ la permutazione $\sigma=(1,2,3)(4,5,6,7)(8,9,10,11,12,13)(14,15,16,17,18)$ e sia $G=<\sigma>$ il gruppo ciclico da essa generato.
Allora devo determinare un sottogruppo ciclico di $S_18$ che abbia ordine 9 e tale che la sua intersezione con G non sia banale.
SVOLGIMENTO:
Il sottogruppo che sto cercando è del tipo $K=<\alpha>$ dove $\alpha$ è un elemento periodico con periodo 9.
Cerco quindi in G dei possibili elementi che abbiano periodo 9, oppure 3.
Usando la ...
Tra una cosa e l'altra mi si chiede di dimostrare che posto \( j := e^{2\pi i/3} \) allora per ogni \(p \geq 2 \) primo risulta che
\[ \mathbb{Z}[j] / (p) \cong \mathbb{F}_p[X] / (X^2+X+1) \]
Allora in primo luogo io ho dimostrato che \( \mathbb{F}_p[X] / (X^2+X+1) \cong \mathbb{F}_p[j] \) notando che \( X^2+X+1 \) è il polinomio minimale di \( e^{2 \pi i /3} \) e quindi è il \( \ker \) della mappa che valuta un polinomio in \( \mathbb{F}_p [X] \) in \( j\). Poi ho semplicemente detto ...
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Studente Anonimo
27 feb 2021, 00:26
Definizione di classe caratteristica: un modo di associare ad ogni fibrato vettoriale alcune classi di coomologia dello spazio base.
Ho due domande
- che cosa sono le classi di coomologia? Leggendo qui
https://ncatlab.org/nlab/show/cohomolog ... ic_classes
sembrerebbero essere delle classi di equivalenza.
- Per 'spazio base' cosa si intende? quello da cui si parte? uno spazio topologico? uno spazio vettoriale?
Per esempio, the cohomology ring of classifyng space BG provides the characteristic classes for principal ...
L'esercizio mi dice questo:
Make sense of the following "one sentence proof" due to Zagier of the main part of Fermat's two square theorem.
The involution on the finite set \(S := \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 : x^2+4yz=p \} \) defined by
\[ (x,y,z) \mapsto \left\{\begin{matrix}
(x+2z,z,y-x-z) & \text{if} & x < y-z \\
(2y-x,y,x-y+z) & \text{if} & y-z < x< 2y \\
(x-2y,x-y+z,y) & \text{if} & x > 2y
\end{matrix}\right. \]
has exactly one fixed point, so S is odd and the involution defined by ...
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Studente Anonimo
26 feb 2021, 14:34
Per il seguente esercizio ho una domanda per il punto d) (in fondo faccio la domanda)
Considera la mappa \( f: \operatorname{Spec}(\mathbb{Z} ) \to \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}) \) definita da \( f(\mathfrak{p} ) = \mathfrak{p} \cap \mathbb{Z} \). Denotiamo \( \kappa = \mathbb{Z}/\mathfrak{p} \) il residue field per \( \mathfrak{p} \neq 0 \).
a) Dimostra che \(f \) è ben definita e suriettiva. Se \( \mathfrak{p} \neq 0 \) allora \( f(\mathfrak{p}) = p \mathbb{Z} \) con \( p \neq 0 \).
Per ...
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Studente Anonimo
26 feb 2021, 21:47
Buon pomeriggio a tutto il Forum.
Per il mio prossimo esame di Algebra 1, ho ripreso in mano i primi esercizi sugli insiemi; volevo sottoporvene uno per capire se li affronto in maniera corretta (o se metto giù solo un giro di parole, come temo ...).
Esercizio.
A, B, C sono insiemi; C \ (A \( \cup \) B) = (C \ A) \( \cap \) (C \ B)
Si procede per doppia inclusione.
a) C \ (A \( \cup \) B) \( \subseteq \) (C \ A) \( \cap \) (C \ B).
Se x \( \in \) C \ (A \( \cup \) B) allora x \( ...
Ciao a tutti! Sono ancora alle prime armi con l'algebra e volevo chiedere un aiuto nella risoluzione del seguente esercizio:
Se un insieme $ X $ ammette una suriezione $ f:Xrarr X $ che non è iniettiva, dimostrare che $ X $ è infinito nel senso di Cantor.
Io ho provato a dimostrare l'esercizio in questo modo:
Innanzitutto ricordiamo che un insieme è infinito nel senso di Cantor se esiste un'applicazione iniettiva, ma non suriettiva, $ h:Xrarr X $.
Definisco ...
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