Equazione di Pell

[Studente Anonimo]

Sia \( d \geq 2 \) un intero privo di quadrati, e consideriamo l'equazione di Pell, i.e.
\[ x^2 -d y^2 = 1 \]
a) Per \( z = a + b \sqrt{d} \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}] =:A \), definiamo \( \overline{z} = a- b \sqrt{d} \) e \(N(z)= z \overline{z} \). Dimostra che \(N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2) \) e che l'insieme delle soluzioni \( A_1^{\times} \) dell'equazione di Pell formano un sottogruppo di \( A^{\times} \).

b) Dimostra che \( \phi : A_1^{\times} \to (\mathbb{R},+) \), \( a +b \sqrt{d} \mapsto \log \left| a +b \sqrt{d} \right| \) è un omomorfismo con \( \ker \phi = \{ \pm 1 \} \).
c) Dimostra che \( \phi(A^{\times}) \) è un sottogruppo ciclico di \( (\mathbb{R},+) \)
d) Concludi che se esiste una soluzione non banale (\(\neq \pm 1 \)), allora tutte le soluzioni sono della forma \(\pm z_0^n \) per qualche \(z_0 \in A_1^{\times} \), \(z_0 \neq \pm 1 \) e \(n\) percorre \( \mathbb{Z} \).
e) Sia \( \alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \) e \(n \geq 1 \). Dimostra che esiste \( a \in \mathbb{Z} \) e \(b \in \{1,\ldots,n\} \) tale che
\[ \left| \alpha - \frac{a}{b} \right| < \frac{1}{(n+1)b} \]
f) Deduci da e) che esistono infinite coppie \( (a,b) \) con \( (a,b) = 1 \) e
\[ \left| \alpha - \frac{a}{b} \right| < \frac{1}{b^2} \]
g) Dimostra, usando il principio dei piccioni, che esiste \(n \) che soddisfa \( 1 \leq \left| n \right| \leq 2 \sqrt{d} +1 \) e tale che \( x^2 -dy^2 = n \) possiede infinite soluzioni \( ( x,y) \), con \(x,y > 0 \). Concludere che esistono due soluzioni \( (x_1,y_1) , (x_2,y_2) \) con \( x_1 \equiv x_2 \mod n \) e \( y_1 \equiv y_2 \mod n \).
h) Sia \( z_1 = x_1+y_1 \sqrt{d} \), \(z_2=x_2+y_2\sqrt{d} \) e \(z_0 = z_1/z_2 \). Dimostra che \(z_0 \) è una soluzione non banale dell'equazione di Pell.

Per a)

Per la multeplicatività della norma
\( N(z_1z_2)=z_1 z_2 \overline{z_1 z_2} = z_1 N(z_2) \overline{z_1} = N(z_1)N(z_2) \)
Chiaramente \( A_1^{\times} \subseteq A^{\times} \) ed è non vuoto perch \(1\) è dentro, pertanto preso \(x \in A_1^{\times} \), con \(x = x_1 + x_2 \sqrt{d} \), allora risulta che \( x^{-1} = x_1 - x_2 \sqrt{d} \) è il suo inverso, infatti \( N(xx^{-1})=1 \). E risulta che \( x^{-1} \in A_1^{\times} \).
Inoltre verifichiamo facendo semplici conti che se \( x,y \in A_1^{ \times} \) allora \(xy = 1 \)

b)

È banalmente un homomorfismo per le proprietà del logaritmo e chiaramente il \( \ker \phi = \{ \pm 1 \} \).

c)
Per questo punto mi danno l'indizio di dimostrare che per ogni compatto \( K \subset \mathbb{R} \), abbiamo che \( \phi^{-1}(K) \) è finito, dedurre dunque che \( \phi(A_1^{\times}) \) è discreto e quindi ciclico.
Ma non ho molte idee.

[j18eos]

c) Ad occhio \(A_1^{\times}\) è numerabile, quindi la sua immagine mediante \(\phi\) è al più numerabile.

Fissando su \(\mathbb{R}\) la topologia naturale arrivi a dimostrare che \(\phi^{-1}(K)\) è finito per ogni compatto \(K\).

Fin qui ci siamo?