Gruppi ciclici
Dato in $S_18$ la permutazione $\sigma=(1,2,3)(4,5,6,7)(8,9,10,11,12,13)(14,15,16,17,18)$ e sia $G=<\sigma>$ il gruppo ciclico da essa generato.
Allora devo determinare un sottogruppo ciclico di $S_18$ che abbia ordine 9 e tale che la sua intersezione con G non sia banale.
SVOLGIMENTO:
Il sottogruppo che sto cercando è del tipo $K=<\alpha>$ dove $\alpha$ è un elemento periodico con periodo 9.
Cerco quindi in G dei possibili elementi che abbiano periodo 9, oppure 3.
Usando la formula del periodo, si osserva che 9 non divide 60 e quindi in G non esistono elementi con periodo 9.
Però esistono elementi di periodo 3 e sono $\sigma^20$ e $\sigma^40$ (ottenuti utilizzando la formula del periodo).
Preso $\sigma^20=(1,3,2)(8,10,12)(9,11,13)$ dovrei verificare che questo è ottenuto dalla potenza di un 9-ciclo... come posso continuare?
Allora devo determinare un sottogruppo ciclico di $S_18$ che abbia ordine 9 e tale che la sua intersezione con G non sia banale.
SVOLGIMENTO:
Il sottogruppo che sto cercando è del tipo $K=<\alpha>$ dove $\alpha$ è un elemento periodico con periodo 9.
Cerco quindi in G dei possibili elementi che abbiano periodo 9, oppure 3.
Usando la formula del periodo, si osserva che 9 non divide 60 e quindi in G non esistono elementi con periodo 9.
Però esistono elementi di periodo 3 e sono $\sigma^20$ e $\sigma^40$ (ottenuti utilizzando la formula del periodo).
Preso $\sigma^20=(1,3,2)(8,10,12)(9,11,13)$ dovrei verificare che questo è ottenuto dalla potenza di un 9-ciclo... come posso continuare?
Risposte
"m_2000":
Però esistono elementi di periodo 3 e sono $\sigma^20$ e $\sigma^40$ (ottenuti utilizzando la formula del periodo).
Preso $\sigma^20=(1,3,2)(8,10,12)(9,11,13)$ dovrei verificare che questo è ottenuto dalla potenza di un 9-ciclo... come posso continuare?
Che ne dici di $(1,8,9,3,10,11,2,12,13)$?
Ciao ghira, grazie per la risposta!
Scusa se chiedo delle banalità, ma sono i primi esercizi che svolgo.
Per quanto riguarda la permutazione che hai individuato, la sua terza potenza coincide con $\sigma^20$.
Se ad esempio volessi trovare una permutazione la cui potenza terza coincida con $\sigma^20$ :
1. $(1,-,-,3,-,-,2,-,-)$ 9-ciclo
2. $(1,8,-,3,10,-,2,12,-)$
3. $(1,8,9,3,10,11,2,12,13)$
E' questo il modo con cui hai individuato il ciclo che mi hai indicato?
Quindi un'altra possibilità poteva essere $(9,1,8,11,3,10,13,2,12)$ oppure $(1,9,8,3,11,10,2,13,12)$...?
Sbaglio nel dire che non esiste una permutazione la cui potenza quarta o quinta coincida con $\sigma^20$?
Non vedo come poter "incastrare" tra di loro gli elementi con potenze che non siano multiple di 3...
Scusa se chiedo delle banalità, ma sono i primi esercizi che svolgo.
Per quanto riguarda la permutazione che hai individuato, la sua terza potenza coincide con $\sigma^20$.
Se ad esempio volessi trovare una permutazione la cui potenza terza coincida con $\sigma^20$ :
1. $(1,-,-,3,-,-,2,-,-)$ 9-ciclo
2. $(1,8,-,3,10,-,2,12,-)$
3. $(1,8,9,3,10,11,2,12,13)$
E' questo il modo con cui hai individuato il ciclo che mi hai indicato?
Quindi un'altra possibilità poteva essere $(9,1,8,11,3,10,13,2,12)$ oppure $(1,9,8,3,11,10,2,13,12)$...?
Sbaglio nel dire che non esiste una permutazione la cui potenza quarta o quinta coincida con $\sigma^20$?
Non vedo come poter "incastrare" tra di loro gli elementi con potenze che non siano multiple di 3...
"m_2000":
1. $(1,-,-,3,-,-,2,-,-)$ 9-ciclo
2. $(1,8,-,3,10,-,2,12,-)$
3. $(1,8,9,3,10,11,2,12,13)$
E' questo il modo con cui hai individuato il ciclo che mi hai indicato?
Sì.
"m_2000":
Quindi un'altra possibilità poteva essere $(9,1,8,11,3,10,13,2,12)$ oppure $(1,9,8,3,11,10,2,13,12)$...?
Mi pare di sì.
perfetto grazie
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