Che cosa sono le classi di coomologia e per cosa servono le classi caratteristiche?
Definizione di classe caratteristica: un modo di associare ad ogni fibrato vettoriale alcune classi di coomologia dello spazio base.
Ho due domande
- che cosa sono le classi di coomologia? Leggendo qui
https://ncatlab.org/nlab/show/cohomolog ... ic_classes
sembrerebbero essere delle classi di equivalenza.
- Per 'spazio base' cosa si intende? quello da cui si parte? uno spazio topologico? uno spazio vettoriale?
Per esempio, the cohomology ring of classifyng space BG provides the characteristic classes for principal G-bundles.
(come si traduce classifying space?)
Poi si dice che the classifyng space \(\displaystyle BG \) ha una coomologia non banale \(\displaystyle H^*(BG;A) \)
In verità non mi è chiara la connessione tra il fatto che il classifying space mi fornisca le classi caratteristiche per i fibrati G-principali (non mi è chiaro a cosa servano queste classi) e il fatto che questo tipo di spazio abbia una coomologia non banale.
Riguardo alla coomologia non banale la ragione sembra partire dalla presenza di mappe di omotopia \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) dallo dallo spazio \(\displaystyle X \) allo spazio \(\displaystyle Y \) per arrivare a dire che alla fin fine affermare che le classi di isomorfismo del fibrato su X sono in corrispondenza biunivoca con \(\displaystyle [X,BG] \)
Ok, però, mi resta aperta la domanda sulle classi caratteristiche e sulla loro utilità e tutta questa 'matassa' di omotopie e biiezioni.
Ho due domande
- che cosa sono le classi di coomologia? Leggendo qui
https://ncatlab.org/nlab/show/cohomolog ... ic_classes
sembrerebbero essere delle classi di equivalenza.
- Per 'spazio base' cosa si intende? quello da cui si parte? uno spazio topologico? uno spazio vettoriale?
Per esempio, the cohomology ring of classifyng space BG provides the characteristic classes for principal G-bundles.
(come si traduce classifying space?)
Poi si dice che the classifyng space \(\displaystyle BG \) ha una coomologia non banale \(\displaystyle H^*(BG;A) \)
In verità non mi è chiara la connessione tra il fatto che il classifying space mi fornisca le classi caratteristiche per i fibrati G-principali (non mi è chiaro a cosa servano queste classi) e il fatto che questo tipo di spazio abbia una coomologia non banale.
Riguardo alla coomologia non banale la ragione sembra partire dalla presenza di mappe di omotopia \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle g \) dallo dallo spazio \(\displaystyle X \) allo spazio \(\displaystyle Y \) per arrivare a dire che alla fin fine affermare che le classi di isomorfismo del fibrato su X sono in corrispondenza biunivoca con \(\displaystyle [X,BG] \)
Ok, però, mi resta aperta la domanda sulle classi caratteristiche e sulla loro utilità e tutta questa 'matassa' di omotopie e biiezioni.
Risposte
...in sintesì: sì, le classi di coomologia sono classi di equivalenza.
Ma perché inizi da un contesto così generale? A cosa ti dovrebbero servire le classi caratteristiche?
Ma perché inizi da un contesto così generale? A cosa ti dovrebbero servire le classi caratteristiche?
In realtà è il punto di partenza.
Sono partito dalla definizione di "anti-particella" che ho trovato su nlab per imbattermi nella categoria DHR nel contesto delle regole di superselezione.
Ma il contesto era troppo astratto e troppi concetti sfuggivano.
Cosi ripercorrendo a ritroso sono arrivato fino al classifying space (che non so come tradurre).
Per poter risalire e scalare la montagna per arrivare almeno ai teoremi di ricostruzione (tanaka duality etc), le mie indagini si sono spostate sul fibrato e le prove che ho raccolto sono state le coomologie, le classi caratteristiche, un sacco di roba, e li mi sono fermato per poterle analizzare meglio.
Sono partito dalla definizione di "anti-particella" che ho trovato su nlab per imbattermi nella categoria DHR nel contesto delle regole di superselezione.
Ma il contesto era troppo astratto e troppi concetti sfuggivano.
Cosi ripercorrendo a ritroso sono arrivato fino al classifying space (che non so come tradurre).
Per poter risalire e scalare la montagna per arrivare almeno ai teoremi di ricostruzione (tanaka duality etc), le mie indagini si sono spostate sul fibrato e le prove che ho raccolto sono state le coomologie, le classi caratteristiche, un sacco di roba, e li mi sono fermato per poterle analizzare meglio.
Non sono competente in fisica delle particelle, ma non credo che sia necessario studiare tutta 'sta roba. 
Le classi caratteristiche e gli spazi classificanti sono strumenti molto potenti, e di non facile interpretazione geometrica; figuriamoci in fisica...
Le classi caratteristiche e gli spazi classificanti sono strumenti molto potenti, e di non facile interpretazione geometrica; figuriamoci in fisica...
Magari fosse cosi.. guarda qui
https://ncatlab.org/nlab/show/DHR+superselection+theory
e qui
https://en.wikipedia.org/wiki/Local_qua ... prov=sfla1
In nlab danno questa definizione di antiparticella
https://ncatlab.org/nlab/show/antiparticle
Il linguaggio delle categorie è un modo tecnicamente vataggioso di organizzare la struttura dei settori di superselezione in vista di ricostruire il gruppo di gauge come oggetto duale della categoria dei settori. Gli oggetti della categoria sono i morfismi localizzati della rete delle C*-algebre locali (in pratica le rappresentazioni localmnte equivalenti a quella dl vuoto. Il cocnetto di particella in questo modo di trattare le cose non è "messo a mano" nel modello com con gli spazi di Fock, ma un concetto derivato. Dire quali sono le rappresentazioni interessanti equivale a dire quali sono gli stati della teoria.
La teoria DHR è una teoria che parte dall'idea che tutta la fisica si ricostruisce a partire dalle grandezze osservabili. Si tratta di una teoria sviluppata a partire dalla fine degli anni 60 è conosciuta dagli esperti di QFT ed ha avuto un forte impatto diretto o indiretto sulla fisica teorica contemporanea. Ad es. molte idee che si sono sviluppate in CFT a partire dagli anni 80 sono direttamente o indirettamente collegate a DHR e ne condividono l'idea centrale che una QFT può essere determinata da una categoria di rappresentazioni di un suo nucleo osservabile. Il nocciolo storico dell'idea
DHR può essere ricondotto al celebre WWW (Wick-Wightman-Wigner) in cui viene introdotto il concetto di settore di superselezione. Se le grandezze osservabili locali A di una teoria si ottengono come elementi invariati di un'algebra di campi carichi sotto l'azione di un gruppo compatto G di simmetrie interne globali allora i settori di superselezione di A sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni irriducibili di G. Si può vedere che la composizione di cariche (settori) munisce la categoria delle rappresentazioni di A di una struttura tensoriale e la categoria tensoriale ottenuta può essere identificata con quella delle rappresentazioni di G. Uno dei risultati più importanti della teoria DHR è il teorema di Doplicher e Roberts (la D e la R di DHR) che dice sostanzialmente che si può ricostruire sia F che G dalla struttura tensoriale delle rappresentazioni di A che, dal punto di vista fisico, corrisponde alla composizione delle cariche della teoria.
Nel caso delle anti-particelle le categorie in questione sono "rigide" e quindi ammettono una dualità. Se una particella "vive" in un settore di superselezione la sua antiparticella vice nel settore duale (o coniugato). Dalla teoria si può poi arrivare a una comprensione intrinseca del teorema spin statistica e del teorema PCT. Le categorie tensoriali "braided" sono entrate prepotentemente in CFT in seguito al lavoro di Moore e Seiberg
https://ncatlab.org/nlab/show/DHR+superselection+theory
e qui
https://en.wikipedia.org/wiki/Local_qua ... prov=sfla1
In nlab danno questa definizione di antiparticella
https://ncatlab.org/nlab/show/antiparticle
Il linguaggio delle categorie è un modo tecnicamente vataggioso di organizzare la struttura dei settori di superselezione in vista di ricostruire il gruppo di gauge come oggetto duale della categoria dei settori. Gli oggetti della categoria sono i morfismi localizzati della rete delle C*-algebre locali (in pratica le rappresentazioni localmnte equivalenti a quella dl vuoto. Il cocnetto di particella in questo modo di trattare le cose non è "messo a mano" nel modello com con gli spazi di Fock, ma un concetto derivato. Dire quali sono le rappresentazioni interessanti equivale a dire quali sono gli stati della teoria.
La teoria DHR è una teoria che parte dall'idea che tutta la fisica si ricostruisce a partire dalle grandezze osservabili. Si tratta di una teoria sviluppata a partire dalla fine degli anni 60 è conosciuta dagli esperti di QFT ed ha avuto un forte impatto diretto o indiretto sulla fisica teorica contemporanea. Ad es. molte idee che si sono sviluppate in CFT a partire dagli anni 80 sono direttamente o indirettamente collegate a DHR e ne condividono l'idea centrale che una QFT può essere determinata da una categoria di rappresentazioni di un suo nucleo osservabile. Il nocciolo storico dell'idea
DHR può essere ricondotto al celebre WWW (Wick-Wightman-Wigner) in cui viene introdotto il concetto di settore di superselezione. Se le grandezze osservabili locali A di una teoria si ottengono come elementi invariati di un'algebra di campi carichi sotto l'azione di un gruppo compatto G di simmetrie interne globali allora i settori di superselezione di A sono in corrispondenza biunivoca con le rappresentazioni irriducibili di G. Si può vedere che la composizione di cariche (settori) munisce la categoria delle rappresentazioni di A di una struttura tensoriale e la categoria tensoriale ottenuta può essere identificata con quella delle rappresentazioni di G. Uno dei risultati più importanti della teoria DHR è il teorema di Doplicher e Roberts (la D e la R di DHR) che dice sostanzialmente che si può ricostruire sia F che G dalla struttura tensoriale delle rappresentazioni di A che, dal punto di vista fisico, corrisponde alla composizione delle cariche della teoria.
Nel caso delle anti-particelle le categorie in questione sono "rigide" e quindi ammettono una dualità. Se una particella "vive" in un settore di superselezione la sua antiparticella vice nel settore duale (o coniugato). Dalla teoria si può poi arrivare a una comprensione intrinseca del teorema spin statistica e del teorema PCT. Le categorie tensoriali "braided" sono entrate prepotentemente in CFT in seguito al lavoro di Moore e Seiberg
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