[CT] Completezza

[kaspar1]

Ciao , ho questo teorema la cui dimostrazione viene omessa (c'è il rimando ad un altro testo che non ho). L'ho lasciato stare per del tempo, solo che dopo un po' viene richiamato.

(Teorema) Le categorie che hanno i prodotti e gli equalizzatori sono complete.

(Dimostrazione) Sia \(\mathcal C\) una categoria con prodotti ed equalizzatori, \(\mathcal I\) una categoria e \(F : \mathcal I \to \mathcal C\) un funtore: voglio costruire un limite di \(F\). Per convenzione, indico con \(I\) e \(C\) rispettivamente la collezione degli oggetti di \(\mathcal I\) e quella di \(\mathcal C\).
Da ipotesi, esiste un prodotto di \(\{F(i) \mid i \in I\}\), vale a dire un \(p \in C\) affiancato da una collezione \(\{\alpha_i : p \to F(i) \mid i \in I\}\) di frecce di \(\mathcal C\). Il prossimo passo è quello di prendere in esame la collezione \[H := \{j \in I \mid \hom_{\mathcal I} (i, j) \ne \varnothing \text{ per qualche } i \in I\} .\] Questo perché voglio avere delle frecce parallele \begin{align*}
F(h) \alpha_i & : p \to F(j) \quad\text{con } i \in I, j \in H \text{ e } h \in \hom_{\mathcal I}(i, j) \\
\alpha_j & : p \to F(j) \quad\text{con } j \in H
\end{align*} Ora, sempre da ipotesi, esiste un prodotto di \(\{F(j) \mid j \in H\}\): un \(q \in C\) insieme ad una collezione \(\{\beta_j : q \to F(j) \mid j \in H\}\) di frecce di \(\mathcal C\). Per la proprietà universale del prodotto, esiste una e una sola freccia \(s : p \to q\) di \(\mathcal C\) tale che \(F(h) \alpha_i = \beta_j s\) per ogni \(i \in I\), \(j \in H\) e \(h \in \hom_{\mathcal I}(i, j)\); per la stessa ragione, esiste una e una sola freccia \(t : p \to q\) di \(\mathcal C\) per cui \(\alpha_j = \beta_j t\) for ogni \(j \in H\). Arrivo quindi a due frecce parallele \(s, t : p \to q\), le quali ammettono da ipotesi un equalizzatore: un \(e \in C\) con una freccia \(\varepsilon : e \to p\) tale che \(s \varepsilon = t \varepsilon\). In particolare, osservo \(\beta_j s \varepsilon = \beta_j t \varepsilon\) per ogni \(j \in H\).
Dico che \(e\) con le frecce uscenti \(\alpha_i \varepsilon : e \to F(i)\) per \(i \in I\) formano un limite di \(F\). Faccio vedere che è un cono: è \(\alpha_j \varepsilon = F(h) \alpha_i \varepsilon\) per ogni \(i, j \in I, h \in \hom_{\mathcal I}(i, j)\)? Se \(j \in H\), è vero in quanto \(\alpha_j \varepsilon = \beta_j t \varepsilon = \beta_j s \varepsilon = F(h) \alpha_i \varepsilon\), altrimenti è una verità vuota. Ora, prendo \(a \in C\) con una trasformazione naturale \(\{\phi_i : a \to F(i) \mid i \in I\}\). Preliminarmente noto che esistono e sono uniche due frecce \(\mu : a \to p\) e \(\nu : a \to q\) tali che \(\phi_i = \alpha_i \mu\) per ogni \(i \in I\) e \(\phi_j = \beta_j \nu\) per ogni \(j \in H\). Abbiamo così \begin{align*}
& \phi_j = \alpha_j \mu = \beta_j t \mu \\
& \phi_j = F(h) \phi_i = F(h) \alpha_i \mu = \beta_j s \mu
\end{align*} per ogni \(i \in I\), \(j \in H\) e \(h \in \hom_{\mathcal I} (i, j)\), da cui \(s \mu = \nu = t \mu\). Quindi, per la proprietà universale di equalizzatore, \(\mu = \varepsilon \zeta\) per una una e una sola freccia \(\zeta : a \to e\) di \(\mathcal C\). E con questo ho finito.

Funziona? Perdonate l'assenza di diagrammi commutativi (ci vorrebbe troppo per tikzarli, e né posso postare immagini). Spero comunque che si capisca.

[fulcanelli]

Sì, quello che stai dimostrando è che il limite di $F$ è l'equalizzatore della coppia di morfismi paralleli
\[
\prod_{i\in\mathcal I} Fi \rightrightarrows \prod_{\phi : i \to j} Fj
\] definiti uno dalla proiezione, e l'altro dalla post-composizione con $F\phi$.

[kaspar1]

Ok, grazie.