Teorema di esistenza delle basi.

[Pasquale 90]

Buonasera, ho un dubbio su un passaggio riguardante la dimostrazione del teorema di esistenza delle basi.

Teorema:
Siano $C(+,times)$ corpo, $S(+, times)$ un spazio vettoriale sinistro su $C$.
Sia $X subseteq S$ parte libera, allora esiste $B$ parte libera massimale di $S$.

Dimostrazione:
La dimostrazione fa uso del lemma di Zorn.
Sia $Delta={W|W \ mbox{parte libera di S}, Xsubseteq W}$, dunque, basta provare che $Delta(subseteq)$ è induttivo.
Si ha $Delta ne emptyset $ infatti $X in Delta.$ Considero $Sigma subseteq Delta, Sigma ne emptyset$ proviamo che è dotata di maggiorante in $Delta.$

$Sigma(subseteq)$ è totalmente ordinato, inoltre, $Lambda=bigcup_(W in Sigma) W$, $Lambda$ è un maggiorante. Infatti $W subseteq Lambda$ per ogni $W in Sigma.$
Provo infine che $Lambda in Delta$, allora si ha $X subseteq Lambda$, dunque, rimane da verificare che $Lambda$ è una parte libera.

In tal caso, sia $R subseteq Lambda$ con $R$ finita e $R={x_1,...,x_n},$ cioè ${x_1,...,x_n}subseteq Lambda.$ Si ha
$x_1 in R to exists X_1 in Sigma| x_1 in X_1 $
$x_2 in R to exists X_2 in Sigma| x_2 in X_2 $
$...$
$...$
$x_n in R to exists X_n in Sigma| x_n in X_n $

Poiché $Sigma(subseteq)$ è totalmente ordinato, si ha $exists d in {1,2,...,n}$ tale che
$X_1 subseteq X_d,...., X_nsubseteqX_d$, quindi, $x_1,..., x_n in X_d$ e $R subseteq X_d.$
$X_d in Sigma subseteq Delta$ è una parte libera, pertanto $R$ è una parte libera.
Abbiamo che ogni parte libera di $Lambda$ è una parte libera, allora $Lambda$ è libera.
Questo prova che $Lambda in Delta$, cioè $Delta(subseteq)$ è un insieme induttivo, dunque, dal lemma di Zorn
esiste $L in Delta$ massimale in $Delta$. Allora per definizione di $Delta$ si ha $L$ parte libera di $S$ e $X subseteq L.$

Infine dobbiamo provare che $L$ è una parte libera massimale in $S$.
Quindi, per assurdo esiste una parte $L' in Delta$, $L'$ libera e $L subset L'$.
Si ha $XsubseteqLsubsetL'$ cioè $XsubseteqL'$. Allora $L' in Delta$ assurdo perché $L$ è massimale in $Delta$ e $L subset L'$.
Quindi $L$ è una parte massimale di $S$ la quale contiene $X.$

Questo è il mio dubbio:
1) Una volta che abbiamo verificato che $Delta(subseteq)$ è induttivo, quindi per il lemma di Zorn ho l'esistenza di un elemento massimale in $Delta$, questo non basta per concludere la dimostrazione.
Lo so che la richiesta del teorema è verificare l'esistenza di una parte massimale in $S$, ma per come è stato costruito $Delta$ non basta la verifica dell'esistenza di un elemento massimale in $Delta$

[fulcanelli]

Per quale motivo scrivi $C(+,times)$ invece di \((C,+,\times)\)? Lo fai ogni volta: $Delta(subseteq)$ invece di \((\Delta,\subseteq)\). Il lemma di Zorn poi non dice quello; dice che se ogni catena di un poset ha un massimale, allora il poset ha un massimale. Stai usando la definizione di Bourbaki di "insieme induttivo"? Perché? Non la usa nessuno.

Non si capisce, poi, quale sia il tuo dubbio. Per il lemma di Zorn, l'insieme dei sottoinsiemi di generatori che contengono $X$ ammette un elemento massimale, una volta ordinato per inclusione. Poi vedi che questo massimale è una base (per assurdo, supponi non generi tutto: allora c'è un vettore fuori dal sottospazio generato, ma allora non è piu massimale).

[Pasquale 90]

Ciao, uso queste definizioni e termini perché la prof. usa questi.

Invece, in quanto al mio dubbio penso di aver capito dove mi inceppavo, cioè, mi sono chiesto perché bisogna controllare l'esistenza del massimale in $(S, +, x)$ una volta provata l'esistenza in $(Delta, subseteq)$, cioè non sono la stessa cosa ?
alla fine sono arrivato alla conclusione che è più una questione di formalità, tanto è vero che la dimostrazione, nella parte finale, prova che è lo stesso elemento.

Quante definizioni conosci di insieme induttivo? Io conosco solo questa:
$(I, <)$ induttivo se e solo se per definizione ogni sua parte non vuota totalmente ordinata è dotata di maggiorante.

Inoltre, nella dimostrazione che ho riportato penso che ci sia un errore, sempre nella parte finale, cioè
Quindi, per assurdo esiste una parte $L' in Delta$, $L'$ libera e $L⊂L'.$
Quella corretta è:
Quindi, per assurdo esiste una parte $L' in S$, $L'$ libera e $L⊂L'.$
Giusto ?

[fulcanelli]

https://en.wikipedia.org/wiki/Inductive_set

Ho controllato sulle mie dispense di teoria di Galois (dove questo fatto fu enunciato la prima volta, perché era la prima volta che serviva dato che i campi a volte sono spazi vettoriali di dimensione infinita sul loro campo fondamentale), e in effetti si chiama insieme induttivo anche lì. Però è una notazione vecchia, risalente a Bourbaki appunto; io lo chiamerei "insieme di Zorn" oppure "insieme che soddisfa le ipotesi del lemma di Zorn", ma è un po' lungo.