Polinomi in più variabili
Come posso dimostrare che il polinomio
$$x^n-y^n,$$
con $n$ dispari, non è un quadrato in $\overline{K}\left[x,y\right]$, dove $K$ è un campo?
$$x^n-y^n,$$
con $n$ dispari, non è un quadrato in $\overline{K}\left[x,y\right]$, dove $K$ è un campo?
Risposte
Ciao, hai provato a scriverlo come $y^n(t^n-1)$ dove $t=x/y$ ?
"Martino":
Ciao, hai provato a scriverlo come $y^n(t^n-1)$ dove $t=x/y$ ?
Ciao, in questo modo si può dedurre che il polinomio
$$ (x-y)(x^k-y^k)^p, $$
con $p>2$ e primo, è un non quadrato in $\overline{K}[x,y]$?
Non capisco cosa c'entri la seconda domanda con la prima, comunque per quanto riguarda la prima, il mio suggerimento era sostanzialmente di osservare che
Se $x^n-y^n$ è un quadrato in $K[x,y]$
allora
sostituendo $y=1$ ovviamente troviamo un quadrato in $K[x]$.
Quindi per concludere basta mostrare che $x^n-1$ non è un quadrato in $K[x]$.
Riesci a dimostrare che $x^n-1$ non è un quadrato in $K[x]$?
Se $x^n-y^n$ è un quadrato in $K[x,y]$
allora
sostituendo $y=1$ ovviamente troviamo un quadrato in $K[x]$.
Quindi per concludere basta mostrare che $x^n-1$ non è un quadrato in $K[x]$.
Riesci a dimostrare che $x^n-1$ non è un quadrato in $K[x]$?
"pigrecoedition":
Come posso dimostrare che il polinomio
$$x^n-y^n,$$
con $n$ dispari, non è un quadrato in $\overline{K}\left[x,y\right]$, dove $K$ è un campo?
$n$ è dispari. Qual è il grado del quadrato di un polinomio?
"hydro":
$n$ è dispari. Qual è il grado del quadrato di un polinomio?
vado a nascondermi.
Supponiamo che $x^n-y^n$ sia un quadrato in $\overline{K}[x,y]$.
Sia $p$ la caratteristica di $K$ e scriviamo $n=mp^a$ con $a\ge 0$ e $m$ non divisibile per $p$.
Siccome $n$ e' dispari, anche $m$ e $p^a$ sono dispari. Allora si ha
che $x^n-y^n=(x^m-y^m)^{p^a}$. Vediamo che $x^n-y^n$ e' un quadrato se e solo se $x^m-y^m$ e' un quadrato.
L’elemento $x^m-y^m$ e' divisibile per l’elemento irriducibile $\pi=x-y$.
Siccome l’anello $\overline{K}[x,y]$ \`e un UFD, l'ipotesi che $x^m-y^m$ sia un quadrato implica che $x-y$ deve dividere anche $(x^m-y^m)//(x-y)$.
Scriviamo $\pi=x-y$. Allora $(x^m-y^m)//(x-y)=((y+\pi)^m-y^m)//\pi$ e’ congruo a $my^{m-1}$ modulo $\pi$.
E quindi $x-y$ divide $(x^m-y^m)//(x-y)$ se e solo e $my^{m-1}\equiv 0$ modulo $\pi=y-x$ e quindi
se e solo se $m$ e’ divisibile per $p$. Contraddizione.
Sia $p$ la caratteristica di $K$ e scriviamo $n=mp^a$ con $a\ge 0$ e $m$ non divisibile per $p$.
Siccome $n$ e' dispari, anche $m$ e $p^a$ sono dispari. Allora si ha
che $x^n-y^n=(x^m-y^m)^{p^a}$. Vediamo che $x^n-y^n$ e' un quadrato se e solo se $x^m-y^m$ e' un quadrato.
L’elemento $x^m-y^m$ e' divisibile per l’elemento irriducibile $\pi=x-y$.
Siccome l’anello $\overline{K}[x,y]$ \`e un UFD, l'ipotesi che $x^m-y^m$ sia un quadrato implica che $x-y$ deve dividere anche $(x^m-y^m)//(x-y)$.
Scriviamo $\pi=x-y$. Allora $(x^m-y^m)//(x-y)=((y+\pi)^m-y^m)//\pi$ e’ congruo a $my^{m-1}$ modulo $\pi$.
E quindi $x-y$ divide $(x^m-y^m)//(x-y)$ se e solo e $my^{m-1}\equiv 0$ modulo $\pi=y-x$ e quindi
se e solo se $m$ e’ divisibile per $p$. Contraddizione.
@Stickelberger, è più o meno la dimostrazione che avevo in mente anch'io, ma in effetti dovrebbe essere più semplice guardare il grado, come suggerisce hydro (il grado rispetto a ogni singola variabile).
si, infatti e' molto piu' diretto
"Martino":
[quote="hydro"]$n$ è dispari. Qual è il grado del quadrato di un polinomio?
vado a nascondermi.[/quote]
ma no dai capita di complicarsi la vita
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