Curiosità su proprietà riflessiva

[Snipe]

Ho trovato questo esercizio

una relazione di equivalenza ha le seguenti proprietà:
1)RIFLESSIVA
2)SIMMETRICA
3)TRANSITIVA

DOMANDA 1 Dimostrare che 2) + 3) non sono sufficienti a determinare 1)

in altre parole trovare l'errore in: se A-B e B-A allora A-A.

Io ho costruito un esempio in questo modo: Considero P insieme dei numeri primi, dato x,y in P dico che x-y se x/y (dove / rappresenta la divisione) non è in N. Allora si ha che vale la proprietà 2) e 3) ma non la 1) (Anche se non sono sicuro che valga la 3) visto che quel caso particolare non la implica, ma il punto è proprio quello )

DOMANDA 2 Modificare la 1) in modo che possa seguire da 2) + 3)

Quì non ci ho ancora pensato per bene, ma se volete aiutarmi a trovare una soluzione è perfetto.

[gugo82]

Quindi hai definito $x ~ y$ se e solo se $x cancel(|) y$... Ma questo accade per ogni $x != y in mathbb(P)$ (perché nessun primo è divisibile per nessun altro), quindi la tua relazione coincide con $mathbb(P)^2 - Delta_(mathbb(P))$ (in cui $Delta_(mathbb(P)) := \{ (x,x), x in mathbb(P)\}$ è la diagonale di $mathbb(P)$).
Da ciò segue che la tua $~$ non può mai essere riflessiva, perché se lo fosse la diagonale $Delta_(mathbb(P))$ dovrebbe essere contenuta in $~$; che essa è simmetrica; ma non pare transitiva.
Quindi ricontrolla.

[Studente Anonimo]

La relazione che hai definito non è transitiva. Per esempio 2 è in relazione con 3, 3 è in relazione con 2 ma 2 non è in relazione con 2.

Considera invece la seguente relazione su $NN$: ${(1,1)}$.

[gugo82]

"Martino":La relazione che hai definito non è transitiva. Per esempio 2 è in relazione con 3, 3 è in relazione con 2 ma 2 non è in relazione con 2.

Considera invece la seguente relazione su $NN$: ${(1,1)}$.

Ma infatti ho scritto una c@%%@7a su e stavo andando ad emendare... Scusate.

[Snipe]

Vi ringrazio per le vostre risposte, però il libro da cui ho tratto l'esercizio mi chiede proprio questo, io come avete capito ho cercato qualcosa che fosse quasi ovunque transitiva ma non abbastanza per avere la riflessiva

"Martino":La relazione che hai definito non è transitiva. Per esempio 2 è in relazione con 3, 3 è in relazione con 2 ma 2 non è in relazione con 2. (Questo è proprio quello che il mio libro mi chiede di capire cosa c'è di sbagliato)

Considera invece la seguente relazione su $ NN $: $ {(1,1)} $. (Non riesco a seguirti)

[Studente Anonimo]

Ma infatti ho scritto una c@%%@7a su e stavo andando ad emendare... Scusate.

Figurati, nessun problema!

Parsifal, quello che voglio dire è questo: considera la relazione su $NN$ definita in questo modo:

$x$ è in relazione con $y$ se e solo se $x=1$ e $y=1$.

Questa relazione è simmetrica e transitiva ma non è riflessiva. Ti torna?

[Snipe]

"Martino":
Parsifal, quello che voglio dire è questo: considera la relazione su $NN$ definita in questo modo:

$x$ è in relazione con $y$ se e solo se $x=1$ e $y=1$.

Questa relazione è simmetrica e transitiva ma non è riflessiva. Ti torna?

Ho dovuto rifletterci un pò ma alla fine ci sono arrivato, grazie mille. (certo però che era un esercizio bastardo )

[Studente Anonimo]

"Parsifal.":(certo però che era un esercizio bastardo )

Ma è un esercizio utilissimo perché è un tipo di dubbio che è naturalissimo farsi venire quando si studiano le proprietà delle relazioni.

Alla domanda 2 risponderei così: se una relazione su $A$ è simmetrica, transitiva, e vale anche che

(*) ogni elemento di $A$ è in relazione con qualcosa,

allora la relazione è anche riflessiva.

[Snipe]

Perfetto, grazie