Polinomio minimo di \( \sqrt{2} -2 \) ??
Non capisco dove sbaglio. Il polinomio minimo di \( \sqrt[3]{2} -2 \) dovrebbe essere \((x+2)^3 - 2 \) ma a calcolarlo "in modo non intuitivo" a me viene \( (x+2)^3 -1 \). E in questo caso riesco a vederlo ad occhi, ma se dovesse capitarmi un caso più complicato vorrei capire dove sta l'errore nel mio ragionamento.
Abbiamo che \( K= \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) è un estensione di grado \(3 \) di \( \mathbb{Q} \), infatti il suo polinomio minimo è \( x^3 - 2 \). Ora siccome mi è richiesto dimostrare che l'anello degli interi di \(K\), denotato con \( \mathcal{O}_{K} \) è \( \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}] \), io dimostro che per ogni ideale primo \( \mathfrak{p} = (p) \in \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}) \) le localizzazioni in \( \mathfrak{p} \) coincidono.
\[ \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]_{\mathfrak{p}} = \mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}} \]
Per farlo ho dimostrato in primo luogo che è vero per tutti i primi che non dividono il discriminante di \( K/\mathbb{Q} \), siccome il discriminante è \( -108 \) mi resta da dimostrarlo per \(p=2\) e \(p=3 \). Per questi due ultimi primi mi basta trovare un intero \( \theta \) che un intero algebrico di grado \(d\) con polinomio minimale
\[ P(x) \]
tale che \(P \) è rispetta il criterio di Eisenstein rispetto a \(p\) e automaticamente ho
\[ \mathcal{O}_{K,(p)} = \mathbb{Z}[\theta]_{(p)} \]
Quindi per \(p=2 \) ho che \( \theta = \sqrt[3]{2} \) è un intero algebrico di grado \(3 \) con polinomio minimo \( x^3-2 \) che è Eisenstein rispetto a \(p=2 \).
Per \( p=3 \) prendo \( \theta = \sqrt[3]{2} - 2 \), voglio calcolarmi il polinomio minimo. Ora siccome l'estensione \( K / \mathbb{Q} \) è finita e separabile per tutti quegli \( z \in K \) tale che \( K = \mathbb{Q}(z) \) ho che
\[ P_{K/\mathbb{Q}, min, z} (x) = P_{K/\mathbb{Q},car,z}(x) \]
io ho un estensione separabile e finita pertanto mi calcolo il polinomio caratteristico associato alla moltiplicazione per \(z = a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4} \).
che è
\[\begin{pmatrix}
a & c &b \\
b & a &c \\
c &b &a
\end{pmatrix} \]
quindi per \(z = \sqrt[3]{2} -2 \) ho che la sua matrice è
\[M_{\sqrt[3]{2} -2 }:=\begin{pmatrix}
-2 & 0 &1 \\
1 & -2 &0 \\
0 &1 &-2
\end{pmatrix} \]
da cui il polinomio caratteristico mi viene
\[ \det( x I_3 - M_{\sqrt[3]{2} -2 } ) = (x+2)^3 - 1 \]
che è diverso da \( (x+2)^3 -2 \) e non capisco il perché....
Abbiamo che \( K= \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \) è un estensione di grado \(3 \) di \( \mathbb{Q} \), infatti il suo polinomio minimo è \( x^3 - 2 \). Ora siccome mi è richiesto dimostrare che l'anello degli interi di \(K\), denotato con \( \mathcal{O}_{K} \) è \( \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}] \), io dimostro che per ogni ideale primo \( \mathfrak{p} = (p) \in \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}) \) le localizzazioni in \( \mathfrak{p} \) coincidono.
\[ \mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]_{\mathfrak{p}} = \mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}} \]
Per farlo ho dimostrato in primo luogo che è vero per tutti i primi che non dividono il discriminante di \( K/\mathbb{Q} \), siccome il discriminante è \( -108 \) mi resta da dimostrarlo per \(p=2\) e \(p=3 \). Per questi due ultimi primi mi basta trovare un intero \( \theta \) che un intero algebrico di grado \(d\) con polinomio minimale
\[ P(x) \]
tale che \(P \) è rispetta il criterio di Eisenstein rispetto a \(p\) e automaticamente ho
\[ \mathcal{O}_{K,(p)} = \mathbb{Z}[\theta]_{(p)} \]
Quindi per \(p=2 \) ho che \( \theta = \sqrt[3]{2} \) è un intero algebrico di grado \(3 \) con polinomio minimo \( x^3-2 \) che è Eisenstein rispetto a \(p=2 \).
Per \( p=3 \) prendo \( \theta = \sqrt[3]{2} - 2 \), voglio calcolarmi il polinomio minimo. Ora siccome l'estensione \( K / \mathbb{Q} \) è finita e separabile per tutti quegli \( z \in K \) tale che \( K = \mathbb{Q}(z) \) ho che
\[ P_{K/\mathbb{Q}, min, z} (x) = P_{K/\mathbb{Q},car,z}(x) \]
io ho un estensione separabile e finita pertanto mi calcolo il polinomio caratteristico associato alla moltiplicazione per \(z = a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4} \).
che è
\[\begin{pmatrix}
a & c &b \\
b & a &c \\
c &b &a
\end{pmatrix} \]
quindi per \(z = \sqrt[3]{2} -2 \) ho che la sua matrice è
\[M_{\sqrt[3]{2} -2 }:=\begin{pmatrix}
-2 & 0 &1 \\
1 & -2 &0 \\
0 &1 &-2
\end{pmatrix} \]
da cui il polinomio caratteristico mi viene
\[ \det( x I_3 - M_{\sqrt[3]{2} -2 } ) = (x+2)^3 - 1 \]
che è diverso da \( (x+2)^3 -2 \) e non capisco il perché....
Risposte
Probabilmente la matrice di moltiplicazione sto sbagliando.
Insomma infatti ho
\[ (a+b\sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4} )(x+y\sqrt[3]{2} + z \sqrt[3]{4} )= (ax+2cy+2bz) + (bx+ay+2cz)\sqrt[3]{2} + (cx+by+az)\sqrt[3]{4} \]
quindi direi che effettivamente
\[ \begin{pmatrix} a & 2c &2b \\ b & a &2c \\ c &b &a \end{pmatrix} \]
e dunque la matrice di \( \sqrt[3]{2} - 2 \) è
\[ \begin{pmatrix} -2 & 0 &2 \\ 1 & -2 &0 \\ 0 &1 &-2 \end{pmatrix} \]
e pure il polinomio caratteristico viene giusto così. Nulla. Grazie lo stesso.
"3m0o":
\[ \begin{pmatrix} a & c &b \\ b & a &c \\ c &b &a \end{pmatrix} \]
Insomma infatti ho
\[ (a+b\sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4} )(x+y\sqrt[3]{2} + z \sqrt[3]{4} )= (ax+2cy+2bz) + (bx+ay+2cz)\sqrt[3]{2} + (cx+by+az)\sqrt[3]{4} \]
quindi direi che effettivamente
\[ \begin{pmatrix} a & 2c &2b \\ b & a &2c \\ c &b &a \end{pmatrix} \]
e dunque la matrice di \( \sqrt[3]{2} - 2 \) è
\[ \begin{pmatrix} -2 & 0 &2 \\ 1 & -2 &0 \\ 0 &1 &-2 \end{pmatrix} \]
e pure il polinomio caratteristico viene giusto così. Nulla. Grazie lo stesso.
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