Inverso del teorema di Lagrange per i gruppi ciclici finiti.

[Pasquale 90]

Buonasera, ho un dubbio sulla dimostrazione del seguente teorema

Teorema:
Siano $(G, times)$ gruppo ciclico finito di ordine $m$ e $d in NN$.
Se $d$ divide $n$ allora esiste un unico sottogruppo $H$ di $G$ tale che l'ordine di $H$ è $d$.

Dimostrazione:

Esistenza
$G=$. Poiché per ipotesi $d$ divide $m$ si ha $\frac{m}{d}$ è un intero, pertanto $x^(m/d)in G$. Posto $H=.$
Proviamo che il sottogruppo appena definito ha cardinalità $d$ e sia unico.
Poniamo

$I={n>0: x^((m/d)n) =1}$

Basta far vedere che $d=minI.$
Infatti

$x^((m/d)d)=x^m=1$,

quindi $d in I$, proviamo ora che $d$ è il minimo di $I$.
In tal caso, supponiamo per assurdo che esista $d'$ tale che $x^((m/d)d')=1$ e $0 Allora $0<(m/d)d'<(m/d)d=m$ con $x^((m/d)d')=1,$ assurdo per definizione di minimo $m.$
Pertanto $|H|=||=d$

Unicità
Sia ora $Kle G to K$ è ciclico.
[bgcolor=yellow]Allora esiste $k in G$ tale che $K=. $[/bgcolor] Essendo $k in G$ esiste $n in ZZ$ tale che $k=x^n.$
Quindi si $K=$, in particolare $(x^n)^d=1$ cioè $x^(nd)=1=x^0$, dunque, per le proprietà dei gruppi ciclici finiti, $nd\equiv_m0,$ cioè esiste un $q in ZZ$ tale che $nd=mq. $Pertanto $n=m/dq.$

Quindi, per costruzione si ha $k=x^n=x^((m/d)q)in $, allora $ subseteq .$
Infine $|K|=|H|$ allora $K=H$.

Il mio dubbio:
Il punto che non mi è molto chiaro è quello evidenziato in giallo, cioè perché si prende $k in G$, non si dovrebbe prendere $k in K$ essendo $K$ ciclico, e quindi, per definizione esiste un $k' in K$ tale che $K=$?

Ciao

[Pasquale 90]

Non si capisce quello che ho scritto ?

[Pasquale 90]

Buonasera, non si capisce bene quello ho scritto oppure la domanda che ho fatto non risulta chiara.

[Studente Anonimo]

[xdom="Martino"]Calma, nessuno è obbligato a risponderti. Inoltre è vietato fare un bump prima che siano passate 24 ore.[/xdom]

[Studente Anonimo]

Sì chiaro che $k in K$, ma non è sbagliato dire $k in G$. Non capisco quale sia il problema.

[Pasquale 90]

"Martino":[xdom="Martino"]Calma, nessuno è obbligato a risponderti. Inoltre è vietato fare un bump prima che siano passate 24 ore.[/xdom]

Scusate.

[gugo82]

"Martino":Sì chiaro che $k in K$, ma non è sbagliato dire $k in G$.

Aggiungo: visto che $K <= G$ è ovvio che $K sube G$.

[Pasquale 90]

Ciao, non si può presentare il caso $k notin K$ ? questo è sostanzialmente il mio dubbio.

Potrei fare cosi: $K$ ciclico, dunque per definizione $exists k in K : K\=\.$
Poiché $K<= G$, necessariamente $K subseteq G $, pertanto $k in G$, essendo $G$ ciclico, $exists n in ZZ : k=x^n$,
dove $x$ generatore di $G$.
Quindi, se quanto detto è corretto, mi posso collegare alla dimostrazione.

Può andare bene ?

[Studente Anonimo]

"Pasquale 90":Può andare bene ?

Certo, è correttissimo. Ma è sostanzialmente quello che sta scritto nella dimostrazione che hai riportato sopra.

[Pasquale 90]

Si, però quando dico $k in G$ posso avere il caso $k notin K$ oppure no ?

[Studente Anonimo]

No, $k$ deve appartenere a $K$. Quando dice

"Esiste $k in G$ tale che $ =K$"

se volesse essere proprio precisissimo dovrebbe dire

"Esiste $k in K$ tale che $ =K$. Siccome $K le G$, abbiamo che $k in G$."

[Pasquale 90]

Ok grazie, ora è tutto chiaro.

[gugo82]

@ Pasquale90: Hai mai visto una struttura generata da un elemento che non vi appartiene?
Qual è la definizione di "struttura generata da $k$"?