Osservazione che precede il teorema di Cayley.
Buonasera, sulle mie slide viene provata la seguente osservazione che precede il teorema di Cayley, dove ho un dubbio sul punto 5).
Comunque
Osservazione:
Sia $G(cdot)$ gruppo, si ha
$G ~ H le G_1$ se e solo le esiste $f:G to G_1$ monomorfismo.
Dimostrazione:
Da $G ~ H$ segue l'esistenza di $g : G to H$ isomorfismo, inoltre, $i : x in H to x in G_1$, componendo $i circ g : G to G_1$ si ha una composta di applicazioni iniettive, dunque iniettiva.
Viceversa, si ha $f:G to G_1$ monomorfismo, dobbiamo provare che $G ~ H le G_1$
1) $N_f={1}$, poiché $f$ è un monomorfismo,
2) $f(G) le G_1$ per il primo teorema di omomorfismo,
3) $G/N_f ~ f(G)$ per il primo teorema di omomorfismo,
4) $G(cdot) ~G/({1})(cdot)$,
$G/({1})={x{1}:x in G}={{x}: x in G}$, quindi posso considerare l'applicazione
Infatti, $x, y in G$ si ha $f(x cdot y)={xy}=xy{1}=x{1}y{1}={x}{y}=f(x)cdotf(y)$, quindi, $f$ è un omomorfismo tra $G$ e $G/({1}).$ Invece, l'iniettività e la suriettività sono banali, allora, $f$ è un isomorfismo.
5)$G/({1}) ~ G/N_f$, qui ho il dubbio, cioè per me i due sostegni sono la stessa cosa essendo verificata la 1), me la potreste spiegare un pochettino meglio la relazione che c'è tra di essi.
Infine componendo tutto si ha $G ~ G/({1}) ~ G/N_f~f(G) le G_1$
Comunque
Osservazione:
Sia $G(cdot)$ gruppo, si ha
$G ~ H le G_1$ se e solo le esiste $f:G to G_1$ monomorfismo.
Dimostrazione:
Da $G ~ H$ segue l'esistenza di $g : G to H$ isomorfismo, inoltre, $i : x in H to x in G_1$, componendo $i circ g : G to G_1$ si ha una composta di applicazioni iniettive, dunque iniettiva.
Viceversa, si ha $f:G to G_1$ monomorfismo, dobbiamo provare che $G ~ H le G_1$
1) $N_f={1}$, poiché $f$ è un monomorfismo,
2) $f(G) le G_1$ per il primo teorema di omomorfismo,
3) $G/N_f ~ f(G)$ per il primo teorema di omomorfismo,
4) $G(cdot) ~G/({1})(cdot)$,
$G/({1})={x{1}:x in G}={{x}: x in G}$, quindi posso considerare l'applicazione
$f: x in G to {x} in G/({1})$
la quale risulta essere un isomorfismo. Infatti, $x, y in G$ si ha $f(x cdot y)={xy}=xy{1}=x{1}y{1}={x}{y}=f(x)cdotf(y)$, quindi, $f$ è un omomorfismo tra $G$ e $G/({1}).$ Invece, l'iniettività e la suriettività sono banali, allora, $f$ è un isomorfismo.
5)$G/({1}) ~ G/N_f$, qui ho il dubbio, cioè per me i due sostegni sono la stessa cosa essendo verificata la 1), me la potreste spiegare un pochettino meglio la relazione che c'è tra di essi.
Infine componendo tutto si ha $G ~ G/({1}) ~ G/N_f~f(G) le G_1$
Risposte
Scusa ma $N_f = {1}$, qual è il problema? La (5) è una conseguenza immediata della (1). Non solo $G//N_f$ è isomorfo a $G//{1}$, sono proprio uguali: $G//N_f = G//{1}$.
Non perderti in queste cose, concentrati sulle cose veramente difficili
Non perderti in queste cose, concentrati sulle cose veramente difficili
"Martino":
Scusa ma $N_f = {1}$, qual è il problema? La (5) è una conseguenza immediata della (1).
eee, l'ho detto ma non ero molto sicuro, comunque grazie che mi stai facendo preparare l'esame senza dubbi
Poi se volessi determinare una funzione che risulti un isomorfismo tra $G/({1})$ e $G/N_f$ può andare bene ${x} to {x}$
"Martino":
Non perderti in queste cose, concentrati sulle cose veramente difficili
Tipo ??
"Pasquale 90":Intendo dire di concentrarti più sulla sostanza che sulla forma.
Tipo ??
Buongiorno, riprendo di nuova questa discussione perché rileggendo la dimostrazione del teorema mi è sorto un dubbio.
Praticamente il mio dubbio può essere collegato sempre al lemma che ho riportato, cioè, mi sto chiedendo perché nella dimostrazione del lemma, in particolare, nell'implicazione da destra verso sinistra, viene esibito come sottogruppo, proprio il sottogruppo $f(G)$ e non un altro sottogruppo.
C'è un motivo particolare? cioè si può dimostrare diversamente con un altro sottogruppo generico $H$.
Praticamente il mio dubbio può essere collegato sempre al lemma che ho riportato, cioè, mi sto chiedendo perché nella dimostrazione del lemma, in particolare, nell'implicazione da destra verso sinistra, viene esibito come sottogruppo, proprio il sottogruppo $f(G)$ e non un altro sottogruppo.
C'è un motivo particolare? cioè si può dimostrare diversamente con un altro sottogruppo generico $H$.
In che senso "generico"? $H$ non può essere generico, dev'essere isomorfo a $G$. Quindi abbiamo bisogno di un isomorfismo tra $G$ e un sottogruppo di $G_1$. E allora perché non usare proprio $f$, dato che ce l'abbiamo per ipotesi?
Con generico intendo, che non sia proprio l'immagine di $f$, chiaramente deve fare quello richiesto.
Forse ho capito.
Sia $f : G to G_1$ omomorfismo.
Dal primo teorema sugli omomorfismi di gruppi, risulta
Dunque, $f(H)=W$ per qualche $W<=G_1$.
Sempre dal primo teorema sugli omomorfismi di gruppi, si ha l'esistenza dell'applicazione
Quello che segue sono incerto: se l'applicazione $g$ per come è definita funziona bene, allora a maggior ragione funziona bene su una sua restrizione del codominio.
Può andare ?
Forse ho capito.
Sia $f : G to G_1$ omomorfismo.
Dal primo teorema sugli omomorfismi di gruppi, risulta
$forall H <= G to f(H) <=G_1$.
Dunque, $f(H)=W$ per qualche $W<=G_1$.
Sempre dal primo teorema sugli omomorfismi di gruppi, si ha l'esistenza dell'applicazione
$g : xN_f in G/N_f to f(x) in f(G).$
Quello che segue sono incerto: se l'applicazione $g$ per come è definita funziona bene, allora a maggior ragione funziona bene su una sua restrizione del codominio.
Può andare ?
Le tue domande fanno intendere che tu non abbia proprio capito qual è lo statement. L'osservazione ti sta dicendo che un gruppo $G$ è isomorfo ad un sottogruppo di un gruppo $G_1$ se e solo se esiste un omomorfismo iniettivo da $G$ a $G_1$, cosa che è praticamente tautologica. Cosa non ti è chiaro?
Ma no Pasquale.
Hai $f:G to G_1$ omomorfismo iniettivo. Restringendo il codominio all'immagine ottieni un omomorfismo iniettivo e suriettivo, cioè un isomorfismo $G cong f(G)$. Ovviamente $f(G)$ è un sottogruppo di $G_1$. Quindi $G$ è isomorfo a un sottogruppo di $G_1$. Fine.
Hai $f:G to G_1$ omomorfismo iniettivo. Restringendo il codominio all'immagine ottieni un omomorfismo iniettivo e suriettivo, cioè un isomorfismo $G cong f(G)$. Ovviamente $f(G)$ è un sottogruppo di $G_1$. Quindi $G$ è isomorfo a un sottogruppo di $G_1$. Fine.
E' vero quello che dite, però io mi sto chiedendo un'altra cosa.
Nell'enunciato del lemma viene detto che se esiste un monomorfismo $f:G to G_1$ allora $G ~ H <= G_1.$
La dimostrazione di quest'implicazione fa vedere $G~f(G) <=G_1$.
Anche la dimostrazione di questa implicazione mi è chiara, l'unica cosa che non mi è chiara, e perché proprio $f(G)$ e non un altro sottogruppo di $G_1$ ?
Cioè la dimostrazione funziona solo in questa maniera ?
Nell'enunciato del lemma viene detto che se esiste un monomorfismo $f:G to G_1$ allora $G ~ H <= G_1.$
La dimostrazione di quest'implicazione fa vedere $G~f(G) <=G_1$.
Anche la dimostrazione di questa implicazione mi è chiara, l'unica cosa che non mi è chiara, e perché proprio $f(G)$ e non un altro sottogruppo di $G_1$ ?
Cioè la dimostrazione funziona solo in questa maniera ?
Nessuno ti sta dicendo che l'unico sottogruppo di $G_1$ isomorfo a $G$ sia $f(G)$.
Pasquale ti giuro che non ho idea di cosa vuoi dire.
Va bene grazie lo stesso ad entrambi 
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