Soluzioni del polinomio minimo sul campo
sia $K$ un campo e $F \subset K$ una sua estensione algebrica tramite il polinomio $P(x)$ di grado $n$
(quando dico che un'estensione è "tramite" un polinomio irriducibile $P(x)$, intendo dire che $F$ è isomorfo al quoziente dell'anello dei polinomi a coeficienti in $K$ sull'ideale generato da $P(x)$;
ad esempio, se $F= \mathbb Q[\sqrt{3}]$ e $K= \mathbb Q$ allora $P(x)= x^2-3=0$)
la mia domanda è:
è vero che $P(x)$ è totalmente riducibile se visto come un'elemento di $F[X]$? in altre parole, è vero che $F$ contiene "tutte" le soluzioni di $P(x)$?
io di per certo che ne contiene almeno una,ma nn riesco assolutamente a mostrare che contiene anche le altre $n-1$, e non vorrei che esistano controesempi malati in campi strani prima di assumerlo in una dimostrazione.
spero di essermi spiegato bene.
(quando dico che un'estensione è "tramite" un polinomio irriducibile $P(x)$, intendo dire che $F$ è isomorfo al quoziente dell'anello dei polinomi a coeficienti in $K$ sull'ideale generato da $P(x)$;
ad esempio, se $F= \mathbb Q[\sqrt{3}]$ e $K= \mathbb Q$ allora $P(x)= x^2-3=0$)
la mia domanda è:
è vero che $P(x)$ è totalmente riducibile se visto come un'elemento di $F[X]$? in altre parole, è vero che $F$ contiene "tutte" le soluzioni di $P(x)$?
io di per certo che ne contiene almeno una,ma nn riesco assolutamente a mostrare che contiene anche le altre $n-1$, e non vorrei che esistano controesempi malati in campi strani prima di assumerlo in una dimostrazione.
spero di essermi spiegato bene.
Risposte
[tex]K = \mathbb Q[/tex], [tex]P(X) = X^3 -2[/tex]. Allora [tex]F = \mathbb Q[X]/(X^3-2) \simeq \mathbb Q [\sqrt[3]{2}][/tex] e [tex]F[/tex] contiene solo una radice di [tex]P(X)[/tex].
Le estensioni con le proprietà che cerchi (se un polinomio ammette una radice allora si spezza in fattori lineari) sono di grande importanza e rappresentano le estensioni normali. Se poi sono anche finite (e separabili) vengono dette galoisiane.
Le estensioni con le proprietà che cerchi (se un polinomio ammette una radice allora si spezza in fattori lineari) sono di grande importanza e rappresentano le estensioni normali. Se poi sono anche finite (e separabili) vengono dette galoisiane.
grazie,ottimo esempio,è molto piu semplice di quanto pensassi
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