Fonte sui reticoli
salve ragazzi, qualcuno ha una buona fonte sulla quale studiare i reticoli.
Ad esempio oggi la prof. ha detto una cosa del tipo:
Un reticoli isomorfo coincide con P(S) => una cosa del genere...
ma non è un argomento che trovo facilmente
Grazie anticiptamente
Ad esempio oggi la prof. ha detto una cosa del tipo:
Un reticoli isomorfo coincide con P(S) => una cosa del genere...
ma non è un argomento che trovo facilmente
Grazie anticiptamente
Risposte
I reticoli sono studiati in vari ambiti anche se è difficile trovare trovare qualcosa di monografico. Il libro di algebra di Mac Lane Birchoff li tratta in un capitolo (non so se c'é una traduzione in italiano). Ma a seconda di cosa ti serve può essere più indicato un libro di logica o sui grafi.
Personalmente la tua scritta mi dice poco (è troppo vaga).
Personalmente la tua scritta mi dice poco (è troppo vaga).
Potresti sciogliermi questo dubbio:
Un insieme parzialmente ordinato $(L, <=)$ si dice reticolo se $ AA x,y in L $ il sottoinsieme ${x,y}$ di $L$ ha estremi superiore e inferiore in $L$.
Se $(L, <=)$ è totalmente ordinato => $(L,<=)$ è un reticolo e
inf{a,b} = min{a,b}=a
sup{a,b} = max{a,b}=b
però,
Potresti spiegarmi meglio questa cosa:
se $(L, <=)$ è un reticolo , NON NECESSARIAMENTE $(L, <=)$ è totalmente ordinato e inoltre non necessariamente esiste un minmo e un massimo in $L$.
In questo esercizio:
Determinare la parte $A={M.C.D(10,25),m.c.m(10,25), rest(27,19), rest(27,-19)}$ di $N$
Dare un esempio di reticolo booleano di ordine 16, come lo svolgo?
Un insieme parzialmente ordinato $(L, <=)$ si dice reticolo se $ AA x,y in L $ il sottoinsieme ${x,y}$ di $L$ ha estremi superiore e inferiore in $L$.
Se $(L, <=)$ è totalmente ordinato => $(L,<=)$ è un reticolo e
inf{a,b} = min{a,b}=a
sup{a,b} = max{a,b}=b
però,
Potresti spiegarmi meglio questa cosa:
se $(L, <=)$ è un reticolo , NON NECESSARIAMENTE $(L, <=)$ è totalmente ordinato e inoltre non necessariamente esiste un minmo e un massimo in $L$.
In questo esercizio:
Determinare la parte $A={M.C.D(10,25),m.c.m(10,25), rest(27,19), rest(27,-19)}$ di $N$
Dare un esempio di reticolo booleano di ordine 16, come lo svolgo?
l'ultimo e' l'insieme delle parti di un insieme di quattro elementi (e' l'unico a meno di isomorfismi (teorema di Stone)).
Gli altri li lascio a qualcun altro che' sto uscendo.
Gli altri li lascio a qualcun altro che' sto uscendo.
"gaten":
Potresti sciogliermi questo dubbio:
Un insieme parzialmente ordinato $(L, <=)$ si dice reticolo se $ AA x,y in L $ il sottoinsieme ${x,y}$ di $L$ ha estremi superiore e inferiore in $L$.
Se $(L, <=)$ è totalmente ordinato => $(L,<=)$ è un reticolo e
inf{a,b} = min{a,b}=a
sup{a,b} = max{a,b}=b
però,
Potresti spiegarmi meglio questa cosa:
se $(L, <=)$ è un reticolo , NON NECESSARIAMENTE $(L, <=)$ è totalmente ordinato e inoltre non necessariamente esiste un minmo e un massimo in $L$.
In questo esercizio:
Determinare la parte $A={M.C.D(10,25),m.c.m(10,25), rest(27,19), rest(27,-19)}$ di $N$
Dare un esempio di reticolo booleano di ordine 16, come lo svolgo?
Credo dipenda dalla definizione di $L$ stesso, visto che un insieme è totalmente ordinato se $AAx,y in L$, si ha che $a<=b vv b<=a$.
Sinceramente, così non riesco a capire perfettamente.
gaten il mio era più che altro un pensiero, nel senso che immagino che per un insieme definito come $ZZ$, quindi un insieme infinito e ordinato allora la cosa abbia senso, ma in un'altra situazione? E qui il dubbio che ti ho scritto, cioè che immagino dipenda proprio dalla definizione di $L$, ma forse sono solo stanco e sto delirando 
Vediamo se qualcuno ci aiuta
Vediamo se qualcuno ci aiuta
nell'esercizio che dici non si capisce niente: cosa sono quei simboli? (rest eccetera) E cosa significa determinare la "parte"?
Un reticolo e' un insieme parzialmente ordinato in cui ogni coppia di elementi ha inf e sup. Qual e' il problema? E' ovvio che in generale non e' totalmente ordinato (prendere l'insieme delle parti di un insieme) come e' ovvio che il fatto che ci siano inf e sup non implica che ci siano massimo e minimo (tipo l'inf di due singolette distinte nel reticolo delle parti.)
Un reticolo e' un insieme parzialmente ordinato in cui ogni coppia di elementi ha inf e sup. Qual e' il problema? E' ovvio che in generale non e' totalmente ordinato (prendere l'insieme delle parti di un insieme) come e' ovvio che il fatto che ci siano inf e sup non implica che ci siano massimo e minimo (tipo l'inf di due singolette distinte nel reticolo delle parti.)
valerio, potresti spiegarmi meglio questo:
Inoltre, cosa intendiamo con reticolo booleano???
Grazie.
E' ovvio che in generale non e' totalmente ordinato (prendere l'insieme delle parti di un insieme) come e' ovvio che il fatto che ci siano inf e sup non implica che ci siano massimo e minimo (tipo l'inf di due singolette distinte nel reticolo delle parti.)
Inoltre, cosa intendiamo con reticolo booleano???
Grazie.
prendi l'insieme delle parti dell'insieme $\{1,2\}$. E' un reticolo e infatti ogni coppia di elementi ha inf e sup, pero' se consideri l'inf della coppia $({1},{2})$ questa e'l'insieme vuoto. Quindi e' un inf ma non un minimo. Analogo col sup.
Booleano significa reticolo con complementazione e che verifica la proprieta' distributiva. Vedi anche banalmente su wikipedia. Il teorema di Stone dice che tutti e soli i reticoli booleani sono gli insiemi dei clopen set di uno spazio topologico compatto di Hausdoff e totalmente disconnesso. Nel caso finito si riduce al seguente: tutti e soli i reticoli booleani finiti sono i reticoli delle parti di un insieme finito.
Dimmi se qualcosa non e' chiaro
Booleano significa reticolo con complementazione e che verifica la proprieta' distributiva. Vedi anche banalmente su wikipedia. Il teorema di Stone dice che tutti e soli i reticoli booleani sono gli insiemi dei clopen set di uno spazio topologico compatto di Hausdoff e totalmente disconnesso. Nel caso finito si riduce al seguente: tutti e soli i reticoli booleani finiti sono i reticoli delle parti di un insieme finito.
Dimmi se qualcosa non e' chiaro
Da come hai scritto, sia $S={1,2}$ e $P(S)$ l'insieme delle sue parti, questo è un reticolo poichè ad ogni coppia associa un estremo inferiore ed un estremo superiore. $P(S)={O/, {1}, {2}, {1,2}}$, quindi il vuoto è il mio estremo inferiore, ma non minimo(PERCHE'?) inoltre suppongo che ${1,2}$ è il mio estremo superiore, ma non massimo...
Inoltre non mi è molto chiaro il teorema di Stone.
Grazie.
Inoltre non mi è molto chiaro il teorema di Stone.
Grazie.
il minimo, per definizione, deve appartenere all'insieme di cui e' minimo. E non mi pare che ${\emptyset}\in{{1},{2}}$ 
Stone: pensa solo al caso finito: ogni reticolo booleano e' isomorfo all'insieme delle parti di un insieme finito.
Stone: pensa solo al caso finito: ogni reticolo booleano e' isomorfo all'insieme delle parti di un insieme finito.
potresti dirmi cosa significa: "è isomorfo all'insieme delle parti"
vedevo sul mio libro che
$(P(S), sube)$ è un reticolo booleano, e inoltre dice che un reticolo è booleano se è distributivo e complementato.
Prendi
$(P(S), sube)$ e $B={2,3,4}$ come insieme finito. Cosa posso dire riguardo a:
$(P(S), sube)$ è isomorfo a $P(B)$ ???
vedevo sul mio libro che
$(P(S), sube)$ è un reticolo booleano, e inoltre dice che un reticolo è booleano se è distributivo e complementato.
Prendi
$(P(S), sube)$ e $B={2,3,4}$ come insieme finito. Cosa posso dire riguardo a:
$(P(S), sube)$ è isomorfo a $P(B)$ ???
isomorfo significa che c'e' una funione biettiva fra i due reticoli che preserva tutte le operazioni.
Che vuol dire? Se non esplicit $S$, non ha senso questa cosa.
Stone: Sia $P$ un reticolo booleano finito. Allora esiste un insieme $A$ finito tale che $P$ e' isomorfo a $P(A)$.
"gaten":
Prendi
$(P(S), sube)$ e $B={2,3,4}$ come insieme finito. Cosa posso dire riguardo a:
$(P(S), sube)$ è isomorfo a $P(B)$ ???
Che vuol dire? Se non esplicit $S$, non ha senso questa cosa.
Stone: Sia $P$ un reticolo booleano finito. Allora esiste un insieme $A$ finito tale che $P$ e' isomorfo a $P(A)$.
supponi $S={10,11,12}$ mi fai un esempio di funzione biettiva fra i due reticoli?
manda $10$ in $2$, $11$ in $3$ e $12$ in $4$.
Perdonami se ti faccio questa domanda, se tipo avessi $S={1,2,3} in N$ e $T={-1,-2,-3} in Z$, in questo caso come funziona?
scusa ma lo sai cosa e' una funzione biettiva (o biunivoca, sono sinonimi)?
Una funzione che risulta essere sia iniettiva che suriettiva.
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