Trovare numero dei morfismi
Ciao a tutti, avrei bisogno di una mano per trovare il numero di morfismi tra i seguenti gruppi, alcuni sono solo da controllare se sono giusti:
1) $ G $ gruppo ciclico di ordine 84 e $ ZZ_24 $
2) $ ZZ_168 $ e $ G $ gruppo ciclico di ordine 84
3) $ G $ gruppo ciclico di ordine 30 e $ H $ gruppo ciclico di ordine 10
4) $ ZZ $ e $ G $ gruppo ciclico di ordine 90
5) $ ZZ_4 $ e $ S_6 $ (gruppo permutazioni)
6) $ S_7 $ e $ ZZ_3 x ZZ_3 $
7) $ S_4 $ e $ S_7 $
e devo saperdire anch quanti sono iniettivi e suriettivi... ora propongo una mia soluzione:
1)l'immagine del generatore di $ G $ può essere un qualunque elemento di $ ZZ_24 $ quindi ci sono 24 morfismi.
morfismi iniettivi non possono essercene perchè $ G $ ha 84 elementi mentre $ ZZ_24 $ ne ha 24.
Se non sbaglio $ ZZ_24 $ non è ciclico quindi non possono esserci neanche morfismi suriettivi.
2)l'immagine del generatore deve essere un elemento di $ G $ con periodo 168 o un suo divisore. Se il periodo è 168 di ha un morfismo iniettivo ma in questo caso è impossibile. Poichè la cardinaltà di $ G $ divide la cardinalità di $ ZZ_168 $ tutti gli elementi di $ G $ hanno come periodo un divisore di 168 e quindi ci sono 84 morfismi. Quelli suriettivi sono quelli in cui il generatore di $ ZZ_168 $ va in un generatore di $ G $ e quindi sono $ phi(84) = 24 $ se ho fatto bene i conti...
3)analogamente a prima l'immagine del generatore di $ G $ può essere un qualunque elemento di $ H $ e quindi ci sono 10 morfismi, di cui nessuno è iniettivo mentre ce ne sono 5 suriettivi
4)90 morfismi di cui 24 suriettivi e nessuno iniettivo
5) l'immagine del generatore deve essere un elemento di $ S_6 $ con periodo 4 o un suo divisore. In $ S_6 $ ci sono 75 elementi di periodo 2 e 15 di periodo 4, se ho fatto bene i conti,quindi 90 morfismi, di cui 15 iniettivi. Per capire quanti sono suriettivi come devo fare?
Per il 6) e il 7) non mi è chiaro come procedere, qualcuno potrebbe aiutarmi con questi 2 e controllare gli altri?
Grazie mille in anticipo a tutti!!!
1) $ G $ gruppo ciclico di ordine 84 e $ ZZ_24 $
2) $ ZZ_168 $ e $ G $ gruppo ciclico di ordine 84
3) $ G $ gruppo ciclico di ordine 30 e $ H $ gruppo ciclico di ordine 10
4) $ ZZ $ e $ G $ gruppo ciclico di ordine 90
5) $ ZZ_4 $ e $ S_6 $ (gruppo permutazioni)
6) $ S_7 $ e $ ZZ_3 x ZZ_3 $
7) $ S_4 $ e $ S_7 $
e devo saperdire anch quanti sono iniettivi e suriettivi... ora propongo una mia soluzione:
1)l'immagine del generatore di $ G $ può essere un qualunque elemento di $ ZZ_24 $ quindi ci sono 24 morfismi.
morfismi iniettivi non possono essercene perchè $ G $ ha 84 elementi mentre $ ZZ_24 $ ne ha 24.
Se non sbaglio $ ZZ_24 $ non è ciclico quindi non possono esserci neanche morfismi suriettivi.
2)l'immagine del generatore deve essere un elemento di $ G $ con periodo 168 o un suo divisore. Se il periodo è 168 di ha un morfismo iniettivo ma in questo caso è impossibile. Poichè la cardinaltà di $ G $ divide la cardinalità di $ ZZ_168 $ tutti gli elementi di $ G $ hanno come periodo un divisore di 168 e quindi ci sono 84 morfismi. Quelli suriettivi sono quelli in cui il generatore di $ ZZ_168 $ va in un generatore di $ G $ e quindi sono $ phi(84) = 24 $ se ho fatto bene i conti...
3)analogamente a prima l'immagine del generatore di $ G $ può essere un qualunque elemento di $ H $ e quindi ci sono 10 morfismi, di cui nessuno è iniettivo mentre ce ne sono 5 suriettivi
4)90 morfismi di cui 24 suriettivi e nessuno iniettivo
5) l'immagine del generatore deve essere un elemento di $ S_6 $ con periodo 4 o un suo divisore. In $ S_6 $ ci sono 75 elementi di periodo 2 e 15 di periodo 4, se ho fatto bene i conti,quindi 90 morfismi, di cui 15 iniettivi. Per capire quanti sono suriettivi come devo fare?
Per il 6) e il 7) non mi è chiaro come procedere, qualcuno potrebbe aiutarmi con questi 2 e controllare gli altri?
Grazie mille in anticipo a tutti!!!
Risposte
"AlyAly":
Se non sbaglio $ ZZ_24 $ non è ciclico
Come no?
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