Verficare relazione d'ordine

[gaten]

$AA x in N$, sia , $D(x)={y in N:$ y è un divisore di $x}$

i) si verifichi che $AA x in N, D(x)!=O/$, e si determini $AA x in N\{0}$, il max di $D(x)$

Per verificare che $AA x in N, D(x) != O/$ ho proceduto in questo modo:

Preso un $x in N$ es $n=8$, questo avrà come suo divisore $2$ oppure $4$ poichè: $n=b*c => 8=2*4, AA c in N$
quindi in definitiva:

$AA x in N, EE y in N : x=y*c, AAc in N$ (va bene???)

ii) inoltre dice, considerare la seguente relazione:

$x sum y <=> D(x) sube D(x)$

verificare se è una relazione d'ordine, non totale, e determinare eventuali massimo e minimo in $(N, sum)$.

Per verificare se è una relazione d'ordine, verifichiamo che è riflessiva, antisimmetrica e transitivia:

a) riflessiva

$AA x in N, x sum y$ quindi $D(x) sube D(x)$ ok!

b) antisimmetria
$AA x,y in N, x sum y e y sum x => x = y$ quindi $D(x) sube D(y) e D(y) sube D(x) => D(x)=D(y)$ ok!
(per la proprietà degli insiemi: $A sube B e B sube A => A=B$).

c) transitività
$AA x, y, z in N, x sum y e y sum z => a sum z$ quindi $D(x) sube D(y) e D(y) sube D(z) => D(x) sube D(z)$ ok

Per la non totalità bisogna verificare che:

$AA x, y in N, D(x) sum D(y) $ oppure $ D(y) sum D(x)$

come faccio? e inoltre come faccio a determinare massimo e minimo. Questa cosa non l'ho capita

[gundamrx91-votailprof]

gaten c'è qualche errore nella definizione di $D(x)$ perchè non si legge bene...

[gaten]

ho corretto.