Esercizio sui gruppi

[francicko]

Sia $G$ un gruppo ed $H$ un suo sottogruppo proprio massimale , supponiamo inoltre che esista un elemento $anotinH$ tale che $aHa^(-1)=H$, allora $H$ è normale in $G$??
Facevo il seguente ragionamento: $H$ massimale in $G$ significa credo che non esiste alcun sottogruppo proprio $K$ di $G$ tale che risulti $GsubKsubH$, se non sbaglio inoltre esiste un sottogruppo che consta degli elementi $ginG|gHg^(-1)=H$, chiamato normalizzatore o normalizzante di $H$, che contiene $H$, e che si indica credo con il simbolo$N_G(H)$,
essendo che per ipotesi esiste l'elemento $anotinH|aHa^(-1)=H$, questo implica che $N_G(H)subH$, ma per ipotesi sappiamo che $H$ è massimale , quindi deve essere necessariamente $G=N_G(H)$,cioè
il normalizzante di $H$ coincide con $G$, ma allora $H$ è normale in $G$.
Ho eseguito il ragionamento velocemente quindi può darsi che mi sbaglio, é che sto cercando di risolvere altri esercizi che sfruttano il concetto di normalizzante, e questo potrebbe incanalarmi sulla giusta strada, se qualcuno può cortesemente verificare l'esattezza o meno dell'esposto ,lo ringrazio!
Saluti!

[Studente Anonimo]

E' giusto. Detto in breve, il normalizzante di H contiene sempre H, quindi se lo contiene propriamente e H è massimale allora il suo normalizzante è G.

[francicko]

Grazie Martino!