Dubbi su permutazioni
Ho la seguente permutazione $in S_6$
$sigma = (156)(24)(16)$
è equivalente a scriverla come :
$sigma = ((1,2,3,4,5,6) ,(5,4,3,2,6,1))$
???
Il mio dubbio sorge per il $(1 6)$ finale che quindi non è scritta in cicli disgiunti...se è sbagliata mi chiarite come andrebbe considerata?
Altro dubbio:
mi potete dare una delucidazione su come svolgere le "potenze di permutazioni"?
esempio $sigma^8$ come si calcola? io so che si può calcolare come $sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma$
cioè come composizione di applicazioni , ma così non è troppo dispendiosa e laboriosa...come posso diversamente e più semplicemente svolgere questo calcolo?
Scusatemi ma le permutazioni non mi sono ancora entrare perfettamente in testa (nonostante siano un argomento , a parer di tutti , facili e nonostante cerchi di chiarire le idee sul mio libro di testo , ma non ne vengo fuori)
$sigma = (156)(24)(16)$
è equivalente a scriverla come :
$sigma = ((1,2,3,4,5,6) ,(5,4,3,2,6,1))$
???
Il mio dubbio sorge per il $(1 6)$ finale che quindi non è scritta in cicli disgiunti...se è sbagliata mi chiarite come andrebbe considerata?
Altro dubbio:
mi potete dare una delucidazione su come svolgere le "potenze di permutazioni"?
esempio $sigma^8$ come si calcola? io so che si può calcolare come $sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma * sigma$
cioè come composizione di applicazioni , ma così non è troppo dispendiosa e laboriosa...come posso diversamente e più semplicemente svolgere questo calcolo?
Scusatemi ma le permutazioni non mi sono ancora entrare perfettamente in testa (nonostante siano un argomento , a parer di tutti , facili e nonostante cerchi di chiarire le idee sul mio libro di testo , ma non ne vengo fuori)
Risposte
Per la prima parte ho dei dubbi per cui evito di scrivere fesserie; per la seconda parte si ha che se una permutazione $\sigma in S_n$ viene elevata a $n$, cioè $\sigma ^n = 1_(Sn)$, cioè alla permutazione identica di $S_n$.
Quindi se la tua permutazione $\sigma in S_6$ allora $ \sigma^8=\sigma^2$.
Sempre che non abbia scritto fesserie (per favore, qualcuno mi tiri le orecchie nel caso
).
Quindi se la tua permutazione $\sigma in S_6$ allora $ \sigma^8=\sigma^2$.
Sempre che non abbia scritto fesserie (per favore, qualcuno mi tiri le orecchie nel caso
).
Sicuramente il periodo della permutazione $\sigma=$ $(1,5,6)(2,4)$ è $6$, in quanto essendo che i suoi cicli disgiunti hanno periodo rispettivamente $(1,5,6)$ periodo $3$, ed $(2,4)$ periodo $2$, per cui il periodo della nostra permutazione $\sigma$ risulta avere periodo $m.c.m(3,2)=6$. Questo lo si può mostrare facilmente più in generale.
Quindi non é che una qualsiasi permutazione appartenente ad $S_6$ ha periodo $6$, questo credo sia sbagliato, in quanto anche $(1,5,6)$ oppure $(1,4)$, sono permutazioni appartenenti ad $S_6$ ma hanno periodi rispettivamente $3$, e $2$,
invece ad esempio la permutazione che consta del ciclo $(1,2,3,4,5,6)inS_6$, ha anch'essa periodo $6$, la permutazione $(1,2,3,4,5)inS_6$ ha periodo $5$, la permutazione $(1,2,3,4)inS_6$ ha periodo $4$. Dato che in $S_n$ e quindi anche in $S_6$ valgono le proprietà delle potenze è vero che $\sigma^8=\sigma^6*\sigma^2=$ $I_(S_6)*\sigma^2$ $=\sigma^2$
Per quanto riguarda invece la prima domanda , se non mi sbaglio,credo proprio che la permutazione $(1,3,6)(2,4)(1,6)$ non sia affatto uguale, alla $(1,5,6)(2,4)$, basta comporre nella prima e mostrarla in cicli disgiunti,lo si vede facilmente.A me risulta $(1,3,6)(2,4)(1,6)$ $=(1,3)(4,2)$, non riesco a trovare il codice per scrivere la permutazioni in notazione bidimensionale altrimenti potrei essere più chiaro! Spero di non essermi anch'io sbagliato in quanto ho poca familiarità con le permutazioni!
Quindi non é che una qualsiasi permutazione appartenente ad $S_6$ ha periodo $6$, questo credo sia sbagliato, in quanto anche $(1,5,6)$ oppure $(1,4)$, sono permutazioni appartenenti ad $S_6$ ma hanno periodi rispettivamente $3$, e $2$,
invece ad esempio la permutazione che consta del ciclo $(1,2,3,4,5,6)inS_6$, ha anch'essa periodo $6$, la permutazione $(1,2,3,4,5)inS_6$ ha periodo $5$, la permutazione $(1,2,3,4)inS_6$ ha periodo $4$. Dato che in $S_n$ e quindi anche in $S_6$ valgono le proprietà delle potenze è vero che $\sigma^8=\sigma^6*\sigma^2=$ $I_(S_6)*\sigma^2$ $=\sigma^2$
Per quanto riguarda invece la prima domanda , se non mi sbaglio,credo proprio che la permutazione $(1,3,6)(2,4)(1,6)$ non sia affatto uguale, alla $(1,5,6)(2,4)$, basta comporre nella prima e mostrarla in cicli disgiunti,lo si vede facilmente.A me risulta $(1,3,6)(2,4)(1,6)$ $=(1,3)(4,2)$, non riesco a trovare il codice per scrivere la permutazioni in notazione bidimensionale altrimenti potrei essere più chiaro! Spero di non essermi anch'io sbagliato in quanto ho poca familiarità con le permutazioni!
Alcuni commenti...
Il primo è che \(\displaystyle (1,5,6)(2,4)\sigma = (1,5,6)(2,4) \) se e solo se \(\displaystyle \sigma = \mathrm{id} \). Quindi senza dubbio \(\displaystyle (1,6) \) non può essere ignorato.
Il secondo è che, in genere, le permutazioni sono lette da destra a sinistra. Tuttavia questa regola non viene seguita da tutti e non è raro, specialmente nei libri dedicati ai gruppi di permutazioni, di vedere moltiplicare nel modo usuale.
Questo significa che solitamente, nei primi corsi di algebra, \(\displaystyle (1,5,6)(2,4)(1,6) = (2,4)(5,6) \) e non, come verrebbe più immediato dire, \(\displaystyle (1,5,6)(2,4)(1,6) = (1,5)(2,4) \)
Scritto in versione matriciale risulterà:
\(\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 6 & 5 \end{array}\right) \)
oppure, se li leggi da sinistra a destra,
\(\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 6 \end{array}\right) \)
Riguardo al secondo punto. Se tu hai la matrice espressa come prodotto di cicli disgiunti, allora basta calcolare il prodotto di ogni ciclo. Questo è valido perché i cicli disgiunti commutano tra di loro.
Per capirci se \(\displaystyle \sigma = (145)(23) \) allora \(\displaystyle \sigma^{59} = (145)^{59}(23)^{59} = (145)^{-1}(23) = (154)(23) \)
Utilizzando il metodo del \(\displaystyle \mathrm{m c m} \) risulta ovviamente che \(\displaystyle \sigma^{59} = \sigma^5\). I due metodi, per comodità, è meglio usarli in successione. Se non possiedi la fattorizzazione in cicli disgiunti, ti conviene trovarla prima di fare i calcoli.
Il primo è che \(\displaystyle (1,5,6)(2,4)\sigma = (1,5,6)(2,4) \) se e solo se \(\displaystyle \sigma = \mathrm{id} \). Quindi senza dubbio \(\displaystyle (1,6) \) non può essere ignorato.
Il secondo è che, in genere, le permutazioni sono lette da destra a sinistra. Tuttavia questa regola non viene seguita da tutti e non è raro, specialmente nei libri dedicati ai gruppi di permutazioni, di vedere moltiplicare nel modo usuale.
Questo significa che solitamente, nei primi corsi di algebra, \(\displaystyle (1,5,6)(2,4)(1,6) = (2,4)(5,6) \) e non, come verrebbe più immediato dire, \(\displaystyle (1,5,6)(2,4)(1,6) = (1,5)(2,4) \)
Scritto in versione matriciale risulterà:
\(\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 4 & 3 & 2 & 6 & 5 \end{array}\right) \)
oppure, se li leggi da sinistra a destra,
\(\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 6 \end{array}\right) \)
Riguardo al secondo punto. Se tu hai la matrice espressa come prodotto di cicli disgiunti, allora basta calcolare il prodotto di ogni ciclo. Questo è valido perché i cicli disgiunti commutano tra di loro.
Per capirci se \(\displaystyle \sigma = (145)(23) \) allora \(\displaystyle \sigma^{59} = (145)^{59}(23)^{59} = (145)^{-1}(23) = (154)(23) \)
Utilizzando il metodo del \(\displaystyle \mathrm{m c m} \) risulta ovviamente che \(\displaystyle \sigma^{59} = \sigma^5\). I due metodi, per comodità, è meglio usarli in successione. Se non possiedi la fattorizzazione in cicli disgiunti, ti conviene trovarla prima di fare i calcoli.
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