Polinomi che si "annullano" sull'insieme vuoto

[Galoisfan]

Salve a tutti, espongo il mio dubbio.
In geometria algebrica, dato un certo $V\subseteq\mathbb {A^n}_k$ si pone
$I(V)=\{f\in k[X_1,\ldots,X_n] : f(P)=0\,\forall P\in V\}$
Ovvero $I(V)$ e' l'ideale formato da tutti i polinomi che si annullano su $V$. Ora sia i libri e sia il prof. affermano che $I(\emptyset)=k[X_1,\ldots,X_n]$ ma cio' non mi torna. Perche' tutti i polinomi dovrebbero annullarsi sull'insieme vuoto? E poi che senso ha valutare un polinomio "su nessun punto"?

grazie in anticipo per la risposta.

[Studente Anonimo]

E' la solita storia della tabella di verità dell'implicazione logica

Se [tex]f \in k[X_1,\ldots,X_n][/tex] allora puoi dire che l'implicazione [tex](x_1,\ldots,x_n) \in \emptyset \Rightarrow f(x_1,\ldots,x_n)=0[/tex] è vera, essendo del tipo "Falso implica Qualcosa", o se vuoi essendo equivalente a [tex]f(x_1,\ldots,x_n) \neq 0 \Rightarrow (x_1,\ldots,x_n) \not \in \emptyset[/tex], vera perché appunto l'insieme vuoto è "vuoto".

[Galoisfan]

Grazie mille, sono proprio ignorante.