Polinomio irriducibile in Z3
Salve a tutti, vi scrivo per chiedere una delucidazione.
In un testo di esame mi sono imbattuto nel seguente esercizio :
Dire se il polinomio $x^4+x^3+2$ in $ZZ_3$ e' irriducibile.
so che per provare che tale polinomio è irriducibile in $ZZ_3$ posso provare se esso a radici e a tal fine posso utilizzare il piccolo teorema di fermat, poiché 3 è primo. E se non ha radici, verifico se è riducibile sfruttando il principio di identità dei polinomi scrivendolo nella forma $(x^2+ax+2)*(x^2+bx+1)$ e verificare se il sistema che ottengo è o meno compatibile..
ma mi chiedo, c'è una strada molto più semplice ed immediata?
Io ho ragionato cosi :
Per il teorema di Fermat ho che $AA$ $x$ di $ZZ$ , $x^2-=1(mod3)$.
Dunque il polinomio $x^4+x^3+2-=x+3-=x (mod3)$. Dunque il polinomio dato è congruo ad un polinomio irriducibile di grado 1 , pertanto $x^4+x^3+2$ è irriducibile su $ZZ_3$.
Posso dire una cosa del genere, o pecco in qualcosa?
In un testo di esame mi sono imbattuto nel seguente esercizio :
Dire se il polinomio $x^4+x^3+2$ in $ZZ_3$ e' irriducibile.
so che per provare che tale polinomio è irriducibile in $ZZ_3$ posso provare se esso a radici e a tal fine posso utilizzare il piccolo teorema di fermat, poiché 3 è primo. E se non ha radici, verifico se è riducibile sfruttando il principio di identità dei polinomi scrivendolo nella forma $(x^2+ax+2)*(x^2+bx+1)$ e verificare se il sistema che ottengo è o meno compatibile..
ma mi chiedo, c'è una strada molto più semplice ed immediata?
Io ho ragionato cosi :
Per il teorema di Fermat ho che $AA$ $x$ di $ZZ$ , $x^2-=1(mod3)$.
Dunque il polinomio $x^4+x^3+2-=x+3-=x (mod3)$. Dunque il polinomio dato è congruo ad un polinomio irriducibile di grado 1 , pertanto $x^4+x^3+2$ è irriducibile su $ZZ_3$.
Posso dire una cosa del genere, o pecco in qualcosa?
Risposte
Mi dispiace, ma non è vero che $x^2-=_(3)1$ per ogni $x$ intero. Controesempio: $x=0$.
Credo che l'unico modo per risolvere il problema sia proprio quello di manipolare $x^2+ax+2$ e $x^2+bx+1$.
Necessariamente questi due polinomi devono essere irridubibili.
I polinomi irriducibili del tipo $x^2+ax+2$ sono due: quello con $a=1$ e quello con $a=2$.
Di polinomi irriducibili del tipo $x^2+bx+1$ ce n'è uno solo: quello con $b=0$.
Quanto fa $(x^2+1)(x^2+x+2)$ ? Quanto fa $(x^2+1)(x^2+2x+2)$?
Credo che l'unico modo per risolvere il problema sia proprio quello di manipolare $x^2+ax+2$ e $x^2+bx+1$.
Necessariamente questi due polinomi devono essere irridubibili.
I polinomi irriducibili del tipo $x^2+ax+2$ sono due: quello con $a=1$ e quello con $a=2$.
Di polinomi irriducibili del tipo $x^2+bx+1$ ce n'è uno solo: quello con $b=0$.
Quanto fa $(x^2+1)(x^2+x+2)$ ? Quanto fa $(x^2+1)(x^2+2x+2)$?
Ho capito cosa vuoi dire tu, ho forviato le ipotesi del teorema di fermat in quanto afferma che per ogni intero positivo vale e non vale per zero e quindi non posso applicarlo per tutto Z.
Nel primo caso $(X^2+1)(x^2+x+2) = (X^4+x^3+2*x^2+x^2+x+2)= X^4+x^3+x+2$ che è diverso da $x^4+x^3+2$
Nel secondo caso $(x^2+1)(x^2+2x+2)=X^4+2x^3+2x^2+x^2+2x+2= x^4+2x^3+2x+2$ che è diverso da $x^4+x^3+2$
quindi ciò mostra in $ZZ_3$ il polinomio dato è irriducibile, giusto?
Un'altra cosa, se avessi considerato lo stesso polinomio definito su $U(ZZ_3)$ avrei potuto ragionare come sopra , oppure no? ( cioè ragionando con fermat)
Nel primo caso $(X^2+1)(x^2+x+2) = (X^4+x^3+2*x^2+x^2+x+2)= X^4+x^3+x+2$ che è diverso da $x^4+x^3+2$
Nel secondo caso $(x^2+1)(x^2+2x+2)=X^4+2x^3+2x^2+x^2+2x+2= x^4+2x^3+2x+2$ che è diverso da $x^4+x^3+2$
quindi ciò mostra in $ZZ_3$ il polinomio dato è irriducibile, giusto?
Un'altra cosa, se avessi considerato lo stesso polinomio definito su $U(ZZ_3)$ avrei potuto ragionare come sopra , oppure no? ( cioè ragionando con fermat)
"Kashaman":
Per il teorema di Fermat ho che $AA$ $x$ di $ZZ$ , $x^2-=1(mod3)$.
Dunque il polinomio $x^4+x^3+2-=x+3-=x (mod3)$. Dunque il polinomio dato è congruo ad un polinomio irriducibile di grado 1 , pertanto $x^4+x^3+2$ è irriducibile su $ZZ_3$.
"Gi8":
Mi dispiace, ma non è vero che $x^2-=_(3)1$ per ogni $x$ intero. Controesempio: $x=0$.
"Kashaman":
Ho capito cosa vuoi dire tu, ho forviato le ipotesi del teorema di fermat in quanto afferma che per ogni intero positivo vale e non vale per zero e quindi non posso applicarlo per tutto Z.
Non è questo il punto. Secondo me stai confondendo funzioni polinomiali e polinomi. Un polinomio in una variabile X è una combinazione lineare del tutto formale di potenze di X, mentre una funzione polinomiale è un polinomio valutato. C'è una differenza abissale. Per esempio il polinomio [tex]X^2+X+1[/tex] definito su [tex]\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[/tex] è un polinomio di grado due irriducibile, ma la corrispondente funzione polinomiale è identicamente uno (prova a valutare quel polinomio in 0 e 1). Il famoso "principio di identità dei polinomi" non è altro che la definizione di polinomio.
Se n'è parlato spessissimo sul forum, vedi per esempio qui(1) (recente), qui(2), qui(3) (di molto tempo fa) e volendo qui(4) (definizione polinomi in più variabili).
La corrispondenza biunivoca canonica che hai in mente tra funzioni polinomiali e polinomi è effettivamente una corrispondenza biunivoca se e solo se il campo base è infinito (se vuoi, prova a dimostrarlo).
Grazie mille ad entrambi, ora ho capito.
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