Regola di cartesio
Dovevo ripassare la regola di cartesio che ho fatto tempo fa al liceo e non ho più ripreso fino ad oggi
Ho trovato questo su wikipedia
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_dei ... i_Cartesio
ma mi sembra confusionario.
In pratica non è necessario che le n radici di quel polinomio siano reali per applicare la regola di cartesio giusto? Infatti poi dice che "Se il polinomio ha tutte le radici non immaginarie" che sarebbe inutile se le sue radici sono reali. Confermate?
Ho trovato questo su wikipedia
http://it.wikipedia.org/wiki/Regola_dei ... i_Cartesio
ma mi sembra confusionario.
In pratica non è necessario che le n radici di quel polinomio siano reali per applicare la regola di cartesio giusto? Infatti poi dice che "Se il polinomio ha tutte le radici non immaginarie" che sarebbe inutile se le sue radici sono reali. Confermate?
Risposte
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up
Se vi stuffa andare su wikipedia ecc... , mi basta e avanza, se potete, la versione della regola di cartesio in vostro possesso
Se vi stuffa andare su wikipedia ecc... , mi basta e avanza, se potete, la versione della regola di cartesio in vostro possesso
Intanto sposto in Algebra.
up
Ti ringrazio per la risposta. Ora ho le idee un po' più chiare ma il mio dubbio originario permane, ve lo spiego.
Il dubbio nasce dal mio libro di automatica, ma lo traduco in "matematichese" visto che siamo sul forum di algebra.
Sia dato un polinomio di grado n. Allora "risulta dimostrato che se tutte le sue radici sono negative, allora i coefficenti del polinomio hanno tutti lo stesso segno" e che questa risulta condizione solo necessaria e non sufficiente.
Ora la regola di Cartesio che avevo imparato al liceo sosteneva che ad ogni permanenza corrisponde una radice negativa. Se così fosse la condizione sarebbe necessaria e sufficiente. Invece leggendo su wikipedia ho visto che la regola di cartesio sostiene più precisamente che il massimo numero di radici a parte reale negativa è dato dal numero di permanenze.
Allora qui diventa chiaro perchè la condizione è solo necessaria. Infatti se ho $n$ permanenze, ho un massimo numero di radici a parte reale negativa parti a $n$, ma potrei averne anche di meno, e quindi non mi basta per dire di avere tutte radici negative. Invece se ho tutte le radici a parte reale negativa, esse sono in numero massimo e sono $n$ per il teorema dell'algebra, anche i coefficenti per ovvientà sono $n$, quindi devo avere $n$ permanenze per la regola di Cartesio.
Quindi con la definizione di Wikipedia della regola di Cartesio il concetto mi torna. Quello che non mi torna è una frase, sempre del mio libro di automatica, che tradotta dice che la condizione è anche sufficiente se il polinomio ha grado 1 o 2.
Ho provato a chiedere al mio esercitatore ma non mi ha saputo rispondere.
Il dubbio nasce dal mio libro di automatica, ma lo traduco in "matematichese" visto che siamo sul forum di algebra.
Sia dato un polinomio di grado n. Allora "risulta dimostrato che se tutte le sue radici sono negative, allora i coefficenti del polinomio hanno tutti lo stesso segno" e che questa risulta condizione solo necessaria e non sufficiente.
Ora la regola di Cartesio che avevo imparato al liceo sosteneva che ad ogni permanenza corrisponde una radice negativa. Se così fosse la condizione sarebbe necessaria e sufficiente. Invece leggendo su wikipedia ho visto che la regola di cartesio sostiene più precisamente che il massimo numero di radici a parte reale negativa è dato dal numero di permanenze.
Allora qui diventa chiaro perchè la condizione è solo necessaria. Infatti se ho $n$ permanenze, ho un massimo numero di radici a parte reale negativa parti a $n$, ma potrei averne anche di meno, e quindi non mi basta per dire di avere tutte radici negative. Invece se ho tutte le radici a parte reale negativa, esse sono in numero massimo e sono $n$ per il teorema dell'algebra, anche i coefficenti per ovvientà sono $n$, quindi devo avere $n$ permanenze per la regola di Cartesio.
Quindi con la definizione di Wikipedia della regola di Cartesio il concetto mi torna. Quello che non mi torna è una frase, sempre del mio libro di automatica, che tradotta dice che la condizione è anche sufficiente se il polinomio ha grado 1 o 2.
Ho provato a chiedere al mio esercitatore ma non mi ha saputo rispondere.
"raffamaiden":
Sia dato un polinomio di grado n. Allora "risulta dimostrato che se tutte le sue radici sono negative, allora i coefficenti del polinomio hanno tutti lo stesso segno" e che questa risulta condizione solo necessaria e non sufficiente.
Ora la regola di Cartesio che avevo imparato al liceo sosteneva che ad ogni permanenza corrisponde una radice negativa. Se così fosse la condizione sarebbe necessaria e sufficiente.
Non è sufficiente perché ci possono essere radici non reali (e.g. \(x^2+x+1\)).
"raffamaiden":
Quello che non mi torna è una frase, sempre del mio libro di automatica, che tradotta dice che la condizione è anche sufficiente se il polinomio ha grado 1 o 2.
Per i polinomi di grado due ciò non è vero (cfr. esempio precedente). Affinché la regola sia vera devi necessariamente aggiungere che il polinomio abbia almeno una radice reale.
Per quelli di grado uno si tratta di fare una banale verifica.
Per i polinomi di grado due ciò non è vero (cfr. esempio precedente). Affinché la regola sia vera devi necessariamente aggiungere che il polinomio abbia almeno una radice reale.
Ma il polinomio di grado 2 che hai postato le radici a parte reale negativa ce le ha.
EDIT2: ho tolto i conti che tanto non servono ora che si è capito il problema
EDIT: Scusa non ho tradotto con molta precisione la frase dall'ingegnerese al matematichese
. La traduzione corretta del teorema è la seguente:"Se un polinomio di grado $n$ ha tutte le sue radici con parte reale strettamente negativa, allora i suoi coefficenti hanno tutti lo stesso segno"
Non ho capito perchè è anche sufficiente se $n=2$. Cioè che se un polinomio di secondo grado ha solo permanenze allora le sue radici sono a parte reale strettamente negativa, visto che la regola di cartesio mi da il numero massimo di radici a parte reale negativa. Per n=1 è ovvio.
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