[Esercizio] operazioni binarie
Forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma non riesco a capire come risolvere questo esercizio:
si supponga che una operazione binaria $*$ su un insieme $X$ abbia unità e soddisfi all'identità $x*(y*z)=(x*z)*y$. Dimostrare che $*$ è associativa e commutativa.
Allora per quanto riguarda l'unità, che è l'elemento neutro, suppongo sia definito bilatero visto che non specifica nulla, quindi:
$EEe in X$ tale che $AAa in X$, $a*e=a=e*a$
mentre per l'associatività so che $a*(b*c)=(a*b)*c$, $AAa,b,c in X$ e $a*b=b*a$, $AAa,b in X$.
Ora però non capisco come sfruttare l'uguaglianza per dimostrare quanto richiesto...
si supponga che una operazione binaria $*$ su un insieme $X$ abbia unità e soddisfi all'identità $x*(y*z)=(x*z)*y$. Dimostrare che $*$ è associativa e commutativa.
Allora per quanto riguarda l'unità, che è l'elemento neutro, suppongo sia definito bilatero visto che non specifica nulla, quindi:
$EEe in X$ tale che $AAa in X$, $a*e=a=e*a$
mentre per l'associatività so che $a*(b*c)=(a*b)*c$, $AAa,b,c in X$ e $a*b=b*a$, $AAa,b in X$.
Ora però non capisco come sfruttare l'uguaglianza per dimostrare quanto richiesto...
Risposte
RIscrivo l'esercizio:
devi dimostrare che \( \forall x, y \in X \) si ha \( x \cdot y = y \cdot x\) (sfrutta l'ipotesi mettendo al posto di \(z\) l'elemento neutro \(e\))
per l'associativa, sfrutti sempre l'ipotesi e la commutativa.
"GundamRX91":Consiglio di dimostrare prima la commutativa:
si supponga che una operazione binaria $*$ su un insieme $X$ abbia unità e soddisfi all'identità $x*(y*z)=(x*z)*y$. Dimostrare che $*$ è associativa e commutativa.
devi dimostrare che \( \forall x, y \in X \) si ha \( x \cdot y = y \cdot x\) (sfrutta l'ipotesi mettendo al posto di \(z\) l'elemento neutro \(e\))
per l'associativa, sfrutti sempre l'ipotesi e la commutativa.
Proviamo la commutatività.... posto che $z=e$ allora avrei $x*(y*e)=x*(e*y)=(x*e)*y=(e*x)*y=e*(y*x)=y*x$
Intendevi in questo modo?
Intendevi in questo modo?
Non capisco da dove vengono fuori quei passaggi. Devi dimostrare che è commutativa.
Io intendevo dirti che devi sfruttare l'ipotesi, ovvero che $AA x, y, z in X$ si ha $x*(y*z)= (x*z)*y$.
Siano $x,y in X$ generici. Si ha $x*y = $(def. di elemento neutro) $x*(y*e) =$(ipotesi appena scritta) $=(x*e)*y=$(def. di elemento neutro) $x*y$. Fine
Io intendevo dirti che devi sfruttare l'ipotesi, ovvero che $AA x, y, z in X$ si ha $x*(y*z)= (x*z)*y$.
Siano $x,y in X$ generici. Si ha $x*y = $(def. di elemento neutro) $x*(y*e) =$(ipotesi appena scritta) $=(x*e)*y=$(def. di elemento neutro) $x*y$. Fine
In effetti all'inizio ho fatto così, però mi son detto "si ma ottengo sempre $x*y=x*y$, quindi non può essere...."
Forse sarebbe più corretto in questo modo:
siano $x,y in X$ allora $x*y=$[0]$x*(y*e)=$[1]$x*(e*y)=$[2]$(x*y)*e=$[3]$e*(x*y)=$[4]$(e*y)*x=$[5]$y*x$
[0] elemento neutro a destra
[1] elemento neutro a sinistra
[2] ipotesi
[3] elemento neutro a sinistra
[4] ipotesi
[5] tesi
che ne dici?
siano $x,y in X$ allora $x*y=$[0]$x*(y*e)=$[1]$x*(e*y)=$[2]$(x*y)*e=$[3]$e*(x*y)=$[4]$(e*y)*x=$[5]$y*x$
[0] elemento neutro a destra
[1] elemento neutro a sinistra
[2] ipotesi
[3] elemento neutro a sinistra
[4] ipotesi
[5] tesi
che ne dici?
Ora provo con la proprietà associativa:
siano $x,y,z in X$ tali che $x*(y*z)=$[0]$x*(y*(z*e))=$[1]$x*(y*(e*z))=$[2]$x*((y*z)*e)=$[3]$x*(e*(y*z))=$[4]$x*((e*z)*y)=$[5]$x*(z*y)=$[6]$(x*y)*z$
[0] elemento neutro a destra
[1] elemento neutro a sinistra
[2] ipotesi
[3] elemento neutro a sinistra
[4] ipotesi
[5] elemento neutro
[6] tesi
spero....
siano $x,y,z in X$ tali che $x*(y*z)=$[0]$x*(y*(z*e))=$[1]$x*(y*(e*z))=$[2]$x*((y*z)*e)=$[3]$x*(e*(y*z))=$[4]$x*((e*z)*y)=$[5]$x*(z*y)=$[6]$(x*y)*z$
[0] elemento neutro a destra
[1] elemento neutro a sinistra
[2] ipotesi
[3] elemento neutro a sinistra
[4] ipotesi
[5] elemento neutro
[6] tesi
spero....
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo