Esercizio sull'estensione di campi
Sia $f(x) \in \mathbb{K}[x]$ un polinomio monico e irriducibile, avente due radici distinte $\alpha, \beta \notin \mathbb{K}$. Dimostrare che se $\alpha + \beta \in \mathbb{K}$ allora $f(x)$ ha grado pari.
La mia idea era quella di considerare il polinomio $g(x) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \in \mathbb{K}(\alpha\beta)[x]$, in modo che, se $\alpha \notin \mathbb{K}(\alpha\beta)$ e quindi neanche $\beta$ ci sta, $g(x)$ risulta irriducibile in $\mathbb{K}(\alpha\beta)$, allora il grado dell'estensione $\mathbb{K}(\alpha, \beta)$ su $\mathbb{K}(\alpha\beta)$ è 2, che quindi divide il grado di $f(x)$, che per questo motivo risulta pari.
Ma se $\alpha \in \mathbb{K}(\alpha\beta)$ questo non funziona più, allora mi chiedo: come posso controllare, date le ipotesi del problema, l'appartenenza o meno di $\alpha$ (o di $\beta$) in $\mathbb{K}(\alpha\beta)$?
O magari non vale la pena di riflettere su questo perché il percorso dimostrativo da seguire è un altro?
Grazie per eventuali suggerimenti.
La mia idea era quella di considerare il polinomio $g(x) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta \in \mathbb{K}(\alpha\beta)[x]$, in modo che, se $\alpha \notin \mathbb{K}(\alpha\beta)$ e quindi neanche $\beta$ ci sta, $g(x)$ risulta irriducibile in $\mathbb{K}(\alpha\beta)$, allora il grado dell'estensione $\mathbb{K}(\alpha, \beta)$ su $\mathbb{K}(\alpha\beta)$ è 2, che quindi divide il grado di $f(x)$, che per questo motivo risulta pari.
Ma se $\alpha \in \mathbb{K}(\alpha\beta)$ questo non funziona più, allora mi chiedo: come posso controllare, date le ipotesi del problema, l'appartenenza o meno di $\alpha$ (o di $\beta$) in $\mathbb{K}(\alpha\beta)$?
O magari non vale la pena di riflettere su questo perché il percorso dimostrativo da seguire è un altro?
Grazie per eventuali suggerimenti.
Risposte
Se conosci un po' di teoria di Galois, detto [tex]G[/tex] il gruppo di Galois di [tex]f(x)[/tex] puoi scrivere [tex]\alpha + \beta = k \in \mathbb{K}[/tex] e dimostrare che l'insieme degli zeri di [tex]f(x)[/tex] si scrive come unione disgiunta [tex]\bigcup_{g \in G} \{g(\alpha),k-g(\alpha)\}[/tex].
Il fatto cruciale da usare è che se [tex]f(a)=0[/tex] e [tex]g \in G[/tex] allora anche [tex]f(g(a))=0[/tex].
Il fatto cruciale da usare è che se [tex]f(a)=0[/tex] e [tex]g \in G[/tex] allora anche [tex]f(g(a))=0[/tex].
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