Intersezione di famiglia vuota di parti di un insieme
Salve a tutti, vi propongo un esempio che ho incontrato mentre mi accingevo a studiare i primi rudimenti di analisi 1; nelle dispense date dal prof., una volta definita l'operazione intersezione tra gli insiemi, ci viene proposto questo esempio:
Sia $X$ un insieme. Se $\mathcal{F}$ è la famiglia vuota di parti di $X$ allora $\bigcap_(F\in\mathcal{F})F = X$.
Se infatti $x\in\bigcap_(F\in\mathcal{F})F$ allora esso è per definizione elemento di $X$.
Se invece $x\inX$ allora $x\in\bigcap_(F\in\mathcal{F})F$,altrimenti esisterebbe $F\in\mathcal{F} |x notin F$ il che è assurdo poichè $mathcal{F}$ non ha elementi.
Non riesco a capire cosa intende, forse mi faccio confondere dalla seconda proposizione del primo rigo.. Potete spiegarmi questo esempio?
P.s. Essendo la famiglia delle parti di $X$ vuota, non dovrebbe esere vuoto anche $X$ ?
Sia $X$ un insieme. Se $\mathcal{F}$ è la famiglia vuota di parti di $X$ allora $\bigcap_(F\in\mathcal{F})F = X$.
Se infatti $x\in\bigcap_(F\in\mathcal{F})F$ allora esso è per definizione elemento di $X$.
Se invece $x\inX$ allora $x\in\bigcap_(F\in\mathcal{F})F$,altrimenti esisterebbe $F\in\mathcal{F} |x notin F$ il che è assurdo poichè $mathcal{F}$ non ha elementi.
Non riesco a capire cosa intende, forse mi faccio confondere dalla seconda proposizione del primo rigo.. Potete spiegarmi questo esempio?
P.s. Essendo la famiglia delle parti di $X$ vuota, non dovrebbe esere vuoto anche $X$ ?
Risposte
[xdom="Seneca"]Come suggerito dalla regia, sposto il thread in Algebra.[/xdom]
Questa proprietà dell'intersezione è molto controintuitiva, in verità.
Sul fatto che \(\bigcup_{F\in \mathcal{F}} F \subseteq X\) non penso ci siano dubbi (poiché l'intersezione di parti di \(X\) è una parte di \(X\)).
D'altro canto, si ha:
\[
x\in \bigcup_{F\in \mathcal{F}} F \quad \text{se e solo se}\quad \forall F\in \mathcal{F},\ x\in F
\]
e la seconda proposizione è vera per ogni \(x\in X\) (perchè, in soldoni, non c'è nessuna condizione da verificare in quanto \(\mathcal{F}\) non contiene elementi); quindi \(X\subseteq \bigcup_{F\in \mathcal{F}} F\) e l'uguaglianza segue.
Sul fatto che \(\bigcup_{F\in \mathcal{F}} F \subseteq X\) non penso ci siano dubbi (poiché l'intersezione di parti di \(X\) è una parte di \(X\)).
D'altro canto, si ha:
\[
x\in \bigcup_{F\in \mathcal{F}} F \quad \text{se e solo se}\quad \forall F\in \mathcal{F},\ x\in F
\]
e la seconda proposizione è vera per ogni \(x\in X\) (perchè, in soldoni, non c'è nessuna condizione da verificare in quanto \(\mathcal{F}\) non contiene elementi); quindi \(X\subseteq \bigcup_{F\in \mathcal{F}} F\) e l'uguaglianza segue.
Si puo vedere anche come conseguenza del comportamento dell'implicazione $->$ nella logica classica.
\[
x\in \bigcap_{F\in \mathcal{F}} F \quad \text{se e solo se}\quad \forall F ( F \in \mathcal{F} \rightarrow \ x\in F)
\]
Siccome $F \in \mathcal{F}$ è sempre falso, l'implicazione $F \in \mathcal{F} \rightarrow \ x\in F$ è sempre vera perchè ex falso quodlibet (dal falso segue tutto)
\[
x\in \bigcap_{F\in \mathcal{F}} F \quad \text{se e solo se}\quad \forall F ( F \in \mathcal{F} \rightarrow \ x\in F)
\]
Siccome $F \in \mathcal{F}$ è sempre falso, l'implicazione $F \in \mathcal{F} \rightarrow \ x\in F$ è sempre vera perchè ex falso quodlibet (dal falso segue tutto)
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