Addizione in ZxZ definita a partire dall'addizione in Z
Spero di aver postato nella sezione giusta, non mi è chiaro un passaggio di un testo,
si parla della costruzione di un anello in cui non è valida la legge di annullamento del prodotto.
Preso un insieme $ZxZ=Z^2$
Aggiungiamo prima una legge di composizione (addizione) e poi una seconda legge di composizione (prodotto)
Per l'addizione : $((a,b);(a',b'))epsilonZ^2xZ^2=>(a,b)+(a';b')=(a+a',b+b')epsilonZ^2$
Per il prodotto : $((a,b);(a',b'))epsilonZ^2xZ^2=>(a,b)*(a',b')=(a*a',b*b')epsilonZ^2$
Per verificare che si tratti ti un anello a questo punto verifichiamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, qui il testo non la dimostra ma dice : " Notiamo che l'addizione in $Z^2$ è stata definita come tramite per l'addizione in $Z$, per cui l'addizione in $Z^2$ eredita tutte le proprietà dell'addizione in $Z$
Mi sono scervellato ma non riesco a dare un interpetazione a tale frase, in che senso eredita le proprietà?
si parla della costruzione di un anello in cui non è valida la legge di annullamento del prodotto.
Preso un insieme $ZxZ=Z^2$
Aggiungiamo prima una legge di composizione (addizione) e poi una seconda legge di composizione (prodotto)
Per l'addizione : $((a,b);(a',b'))epsilonZ^2xZ^2=>(a,b)+(a';b')=(a+a',b+b')epsilonZ^2$
Per il prodotto : $((a,b);(a',b'))epsilonZ^2xZ^2=>(a,b)*(a',b')=(a*a',b*b')epsilonZ^2$
Per verificare che si tratti ti un anello a questo punto verifichiamo la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma, qui il testo non la dimostra ma dice : " Notiamo che l'addizione in $Z^2$ è stata definita come tramite per l'addizione in $Z$, per cui l'addizione in $Z^2$ eredita tutte le proprietà dell'addizione in $Z$
Mi sono scervellato ma non riesco a dare un interpetazione a tale frase, in che senso eredita le proprietà?
Risposte
"login":
per cui l'addizione in Z2 eredita tutte le proprietà dell'addizione in Z
Ti invito a fare un piccolo esperimento. Fai finta di non aver letto quella frase e verifica gli assiomi degli anelli uno per uno su $ZZ^2$. Vedrai che capirai da solo cosa vuol dire che $ZZ^2$ "eredita" le proprietà.
Ti faccio notare anche un'altra cosa, con il prodotto sopra definito $Z\timesZ$ non è un dominio di integrità
infatti $(a,0),(0,b) in ZZ\timesZZ => (a,0)*(0,b)=(a*0,0*b)=(0,0)$
infatti $(a,0),(0,b) in ZZ\timesZZ => (a,0)*(0,b)=(a*0,0*b)=(0,0)$
che significa dominio d'integrità? Insomma ci sono due elementi (coppie) non nulle che danno lo 0? cioè i divisori dell'elemento neutro? significa questo?
Cerco di risponderti io andando a memoria:
Def (dominio d'integrità): Un anello commutativo (con unità) si dice dominio d'integrità se è privo di divisori dello zero.
Def (divisore dello zero): Un elemento $a\ne0$, $a\inR$ con $R$ anello, si dice divisore dello zero se esiste un elemento $b\ne0$, $b\inR$ tale che $a\cdotb=0$
Def (dominio d'integrità): Un anello commutativo (con unità) si dice dominio d'integrità se è privo di divisori dello zero.
Def (divisore dello zero): Un elemento $a\ne0$, $a\inR$ con $R$ anello, si dice divisore dello zero se esiste un elemento $b\ne0$, $b\inR$ tale che $a\cdotb=0$
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