Gruppo $S_n$ [Esercizi]
Uso lo stesso topic per chiedere lumi intorno ad un paio di esercizi. Ho cambiato un po' il titolo.
Esercizio. Sia \(\displaystyle S_{6} \) il gruppo delle permutazioni su sei oggetti.
1. Determinare il centralizzante in \(\displaystyle S_{6} \) della permutazione \(\displaystyle \sigma=(1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 6) \)
Allora: in \(\displaystyle S_{n} \) due elementi sono coniugati se hanno la stessa struttura ciclica. Quindi, nel mio caso, tutti i cicli che tengono fisso un punto sono coniugati di \(\displaystyle \sigma \), e tali cicli sono esattamente in numero di \[\displaystyle \frac{n!}{r(n-r)!}=6!/(5 \cdot 1 ) = 6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 144 \] Quindi la classe coniugata di \(\displaystyle \sigma \) ha cardinalità \(\displaystyle 144 \). So poi che la cardinalità della classe di coniugio di un elemento \(\displaystyle x \) di un gruppo \(\displaystyle G \) uguaglia l'indice del centralizzante \(\displaystyle C(x) \). Di nuovo, nel mio caso, \(\displaystyle [G:C(x)]=|G|/|C(x)|=144 \) ossia \(\displaystyle |C(x)|=5 \). Ne concludo che \(\displaystyle C(\sigma)=\langle \sigma \rangle \).
2. Quante classi di coniugio di elementi di ordine \(\displaystyle 5 \) ci sono in \(\displaystyle A_{6} \)? Per ciascuna di queste classi se ne dia una rappresentazione e se ne calcoli l'ordine.
Qui non sono molto sicuro... So che ad ogni struttura ciclica di \(\displaystyle S_{n} \) corrisponde una classe di coniugio, e in \(\displaystyle A_{n} \) c'è solo un tipo di "struttura di periodo \(\displaystyle 5 \)", ossia il ciclo \(\displaystyle ( - \; - \; - \; - \; - ) \) che è scomponibile in un numero pari di trasposizioni. Però non ho idea di come funzionino le classi coniugate su \(\displaystyle A_{n} \), e forse mi manca qualche risultato...
3. Si verifichi che \(\displaystyle C_{S_{6}}((1 \; 2 \; 3 )) \) non è un sottogruppo di \(\displaystyle A_{6} \).
Come prima: il numero dei \(\displaystyle 3 \)-cicli in \(\displaystyle S_{6} \) è \(\displaystyle 6!/(3 \cdot 3!)=2 \cdot 5 \cdot 4=40 \) quindi \(\displaystyle |C_{S_{6}}((1 \; 2 \; 3 ))|=|G|/40=6!/40=18 \). Per il teorema di Cauchy in tale centralizzante esiste un elemento di ordine \(\displaystyle 2 \) che non può appartenere al gruppo alterno.
Chiedo un'occhiata globale, e soprattutto una spinta per risolvere il punto 2.
Ringrazio.
Esercizio. Sia \(\displaystyle S_{6} \) il gruppo delle permutazioni su sei oggetti.
1. Determinare il centralizzante in \(\displaystyle S_{6} \) della permutazione \(\displaystyle \sigma=(1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 6) \)
Allora: in \(\displaystyle S_{n} \) due elementi sono coniugati se hanno la stessa struttura ciclica. Quindi, nel mio caso, tutti i cicli che tengono fisso un punto sono coniugati di \(\displaystyle \sigma \), e tali cicli sono esattamente in numero di \[\displaystyle \frac{n!}{r(n-r)!}=6!/(5 \cdot 1 ) = 6 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 144 \] Quindi la classe coniugata di \(\displaystyle \sigma \) ha cardinalità \(\displaystyle 144 \). So poi che la cardinalità della classe di coniugio di un elemento \(\displaystyle x \) di un gruppo \(\displaystyle G \) uguaglia l'indice del centralizzante \(\displaystyle C(x) \). Di nuovo, nel mio caso, \(\displaystyle [G:C(x)]=|G|/|C(x)|=144 \) ossia \(\displaystyle |C(x)|=5 \). Ne concludo che \(\displaystyle C(\sigma)=\langle \sigma \rangle \).
2. Quante classi di coniugio di elementi di ordine \(\displaystyle 5 \) ci sono in \(\displaystyle A_{6} \)? Per ciascuna di queste classi se ne dia una rappresentazione e se ne calcoli l'ordine.
Qui non sono molto sicuro... So che ad ogni struttura ciclica di \(\displaystyle S_{n} \) corrisponde una classe di coniugio, e in \(\displaystyle A_{n} \) c'è solo un tipo di "struttura di periodo \(\displaystyle 5 \)", ossia il ciclo \(\displaystyle ( - \; - \; - \; - \; - ) \) che è scomponibile in un numero pari di trasposizioni. Però non ho idea di come funzionino le classi coniugate su \(\displaystyle A_{n} \), e forse mi manca qualche risultato...
3. Si verifichi che \(\displaystyle C_{S_{6}}((1 \; 2 \; 3 )) \) non è un sottogruppo di \(\displaystyle A_{6} \).
Come prima: il numero dei \(\displaystyle 3 \)-cicli in \(\displaystyle S_{6} \) è \(\displaystyle 6!/(3 \cdot 3!)=2 \cdot 5 \cdot 4=40 \) quindi \(\displaystyle |C_{S_{6}}((1 \; 2 \; 3 ))|=|G|/40=6!/40=18 \). Per il teorema di Cauchy in tale centralizzante esiste un elemento di ordine \(\displaystyle 2 \) che non può appartenere al gruppo alterno.
Chiedo un'occhiata globale, e soprattutto una spinta per risolvere il punto 2.
Ringrazio.
Risposte
"Delirium":Per sapere quante sono le classi basta fare il conto col centralizzante. Nota che gli elementi di ordine 5 in [tex]S_6[/tex] sono esattamente i 5-cicli. [tex]A_6[/tex] ha tanti 5-cicli quanti ne ha [tex]S_6[/tex], cioè [tex]6!/5[/tex]. D'altra parte hai già visto che il centralizzante di un 5-ciclo è il sottogruppo che tale 5-ciclo genera, in particolare è contenuto in [tex]A_6[/tex] e quindi l'indice del centralizzante di un 5-ciclo in [tex]A_6[/tex] è [tex](6!/2)/5[/tex], la metà! Ne segue che [tex]A_6[/tex] ha due classi di coniugio di 5-cicli. Prova a cercarne dei rappresentanti.
2. Quante classi di coniugio di elementi di ordine \(\displaystyle 5 \) ci sono in \(\displaystyle A_{6} \)? Per ciascuna di queste classi se ne dia una rappresentazione e se ne calcoli l'ordine.
Qui non sono molto sicuro... So che ad ogni struttura ciclica di \(\displaystyle S_{n} \) corrisponde una classe di coniugio, e in \(\displaystyle A_{n} \) c'è solo un tipo di "struttura di periodo \(\displaystyle 5 \)", ossia il ciclo \(\displaystyle ( - \; - \; - \; - \; - ) \) che è scomponibile in un numero pari di trasposizioni. Però non ho idea di come funzionino le classi coniugate su \(\displaystyle A_{n} \), e forse mi manca qualche risultato...
3. Si verifichi che \(\displaystyle C_{S_6}((1 \; 2 \; 3 )) \) non è un sottogruppo di \(\displaystyle A_{6} \).Occhio, il gruppo alterno ne contiene parecchi di elementi di ordine 2, per esempio [tex](12)(34)[/tex].
Come prima: il numero dei \(\displaystyle 3 \)-cicli in \(\displaystyle S_{6} \) è \(\displaystyle 6!/(3 \cdot 3!)=2 \cdot 5 \cdot 4=40 \) quindi \(\displaystyle |C_{S_{6}}((1 \; 2 \; 3 ))|=|G|/40=6!/40=18 \). Per il teorema di Cauchy in tale centralizzante esiste un elemento di ordine \(\displaystyle 2 \) che non può appartenere al gruppo alterno.
Per dimostrare che [tex]C_{S_6}((123))[/tex] non è contenuto in [tex]A_6[/tex] non serve fare conti, basta trovare un elemento di [tex]S_6-A_6[/tex] che commuta con [tex](123)[/tex]. Prendi per esempio [tex](45)[/tex] no?
PS: Se non parli più di automorfismi sarebbe bene aprire un nuovo argomento.
"Martino":
[...] Occhio, il gruppo alterno ne contiene parecchi di elementi di ordine 2, per esempio [tex](12)(34)[/tex].
Per dimostrare che [tex]C_{S_6}((123))[/tex] non è contenuto in [tex]A_6[/tex] non serve fare conti, basta trovare un elemento di [tex]S_6-A_6[/tex] che commuta con [tex](123)[/tex]. Prendi per esempio [tex](45)[/tex] no? [...]
Sì scusa, qui avrei dovuto specificare. Io avevo proprio in mente quel \(\displaystyle 2 \)-ciclo (e quell'idea), ma per la stanchezza l'ho omesso.
"Martino":
[...] Per sapere quante sono le classi basta fare il conto col centralizzante. Nota che gli elementi di ordine 5 in [tex]S_6[/tex] sono esattamente i 5-cicli. [tex]A_6[/tex] ha tanti 5-cicli quanti ne ha [tex]S_6[/tex], cioè [tex]6!/5[/tex]. D'altra parte hai già visto che il centralizzante di un 5-ciclo è il sottogruppo che tale 5-ciclo genera, in particolare è contenuto in [tex]A_6[/tex] e quindi l'indice del centralizzante di un 5-ciclo in [tex]A_6[/tex] è [tex](6!/2)/5[/tex], la metà! Ne segue che [tex]A_6[/tex] ha due classi di coniugio di 5-cicli. Prova a cercarne dei rappresentanti
Dunque, vediamo se ho capito: il centralizzante rimane lo stesso, chiaramente. Se l'indice di tale centralizzante in \(\displaystyle A_{6} \) è la metà di quello di prima - visto che il gruppo alterno ha la metà degli elementi - ... Del resto deve valere la relazione che ho riportato sopra, ossia deve essere \(\displaystyle |G|/|C(x)| = \text{card. della classe coniugata}=72 \). Siccome però gli elementi coniugati a \(\displaystyle \sigma \) sono \(\displaystyle 144 \), deduco che le classi di coniugio sono due. Dico bene?
Mi scuso per aver utilizzato lo stesso topic. Eventualmente, se vuoi, puoi tagliare quest'ultima parte inserendola in un topic nuovo.
Tagliato e cucito.
Porto su.
"Delirium":Sì sì dici bene. Scusa non credevo che stessi aspettando una conferma.
Dico bene?
Grazie!
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