Discriminanti di estensioni di campi
Ciao a tutti,
sto avendo difficolta' a risolvere un esercizio di teoria dei numeri, che credo sia particolarmente facile.
Ecco cosa dice:
Sia $ x = (x_1, ... x_n) $ una base per una estensione separabile L/K. Sia $ x^{\star} = (x_1^{\star}, ..., x_n^{\star}) $ la base duale della precedente (ossia con la proprieta' che $ Tr(x_ix_j^{\star}) = \delta_{ij} $). Dimostrare che $ \Delta(x)\Delta(x^{\star}) = 1 $.
Vorrei evitare di coinvolgere i K-embedding per esprimere la traccia, quindi ho detto: $\Delta(x) = \det (Tr(x_ix_j))_{i,j=1}^n$ quindi,
$ \Delta(x)\Delta(x^{\star}) = \det (Tr(x_i x_j))(Tr(x_i^{\star} x_j^{\star})) $.
Mi piacerebbe che quest'ultima fosse uguale a $ (Tr(x_i x_j^{\star})) $, che e' l'identita', e ha quindi determinante 1.
Tuttavia, ho provato sia a fare i conti espliciti che a cercare qualche argomentazione intelligente per dire che questo e' vero, ma sono sempre andato in palla.. forse non e' proprio vero che quelle due matrici sono uguali.. Qualcuno puo' darmi un suggerimento?
sto avendo difficolta' a risolvere un esercizio di teoria dei numeri, che credo sia particolarmente facile.
Ecco cosa dice:
Sia $ x = (x_1, ... x_n) $ una base per una estensione separabile L/K. Sia $ x^{\star} = (x_1^{\star}, ..., x_n^{\star}) $ la base duale della precedente (ossia con la proprieta' che $ Tr(x_ix_j^{\star}) = \delta_{ij} $). Dimostrare che $ \Delta(x)\Delta(x^{\star}) = 1 $.
Vorrei evitare di coinvolgere i K-embedding per esprimere la traccia, quindi ho detto: $\Delta(x) = \det (Tr(x_ix_j))_{i,j=1}^n$ quindi,
$ \Delta(x)\Delta(x^{\star}) = \det (Tr(x_i x_j))(Tr(x_i^{\star} x_j^{\star})) $.
Mi piacerebbe che quest'ultima fosse uguale a $ (Tr(x_i x_j^{\star})) $, che e' l'identita', e ha quindi determinante 1.
Tuttavia, ho provato sia a fare i conti espliciti che a cercare qualche argomentazione intelligente per dire che questo e' vero, ma sono sempre andato in palla.. forse non e' proprio vero che quelle due matrici sono uguali.. Qualcuno puo' darmi un suggerimento?
Risposte
Esistono coefficienti $\lambda_{ik}\in K$ tali che
$x_i^{\star}=\sum_k\lambda_{ik}x_k$.
Moltiplichiamo per $x_j$ e calcoliamo la traccia.
Usando il fatto che la traccia e' $K$-lineare,
troviamo l'uguaglianza di matrici
$Id = (Tr(x_kx_j)) \times (\lambda_{ik})$
Similmente, moltiplichiamo per $x_j^{\star}$ e calcoliamo la traccia.
Questa volta troviamo l'uguaglianza
$(Tr(x_k^{\star}x_j^{\star}) ) = (\lambda_{ik}) \times Id$.
Fatto.
$x_i^{\star}=\sum_k\lambda_{ik}x_k$.
Moltiplichiamo per $x_j$ e calcoliamo la traccia.
Usando il fatto che la traccia e' $K$-lineare,
troviamo l'uguaglianza di matrici
$Id = (Tr(x_kx_j)) \times (\lambda_{ik})$
Similmente, moltiplichiamo per $x_j^{\star}$ e calcoliamo la traccia.
Questa volta troviamo l'uguaglianza
$(Tr(x_k^{\star}x_j^{\star}) ) = (\lambda_{ik}) \times Id$.
Fatto.
Tipico, era li' sotto il mio naso..
Grazie
BTW, visto il tuo nikname, non posso esimermi dal farti un'altra domanda:
Sai dove posso trovare una dimostrazione del Teorema (o Criterio) di Stickelberg? Quello che afferma che il discriminante di un ordine e' sempre congruo a 0 o a 1 modulo 4?
Grazie
BTW, visto il tuo nikname, non posso esimermi dal farti un'altra domanda:
Sai dove posso trovare una dimostrazione del Teorema (o Criterio) di Stickelberg? Quello che afferma che il discriminante di un ordine e' sempre congruo a 0 o a 1 modulo 4?
Si trova qua!
Siano $a_1, a_2, ... , a_n$ elementi interi di un campo di numeri $F$ di grado $n$ su $QQ$.
Siano $\tau_1,\ldots,\tau_n$ rappresentanti delle classi laterali sinistre di
$H=Gal$($\overline{QQ}$/$F$) in $Gal$($\overline{QQ}$/$QQ$).
Sia $P=\sum_{\sigma\in A_n}\prod_{i=1}^n\tau_{\sigma(i)}(a_i)$ e sia $N=\sum_{\sigma\in S_n-A_n}\prod_{i=1}^n\tau_{\sigma(i)}(a_i)$.
Il discriminante $Delta(a_1, a_2, ... , a_n)$ e' uguale a $(P-N)^2 = (P+N)^2 -4PN$.
Ogni automorfismo $\tau\in Gal$($\overline{QQ}$/$QQ$) permuta i prodotti $\prod_{i=1}^n\tau_{\sigma(i)}(a_i)$
e scambia quindi $N$ e $P$ o li lascia invarianti.
Questo implica che $N+P$ e $NP$ sono in $QQ$. Essendo interi algebrici, sono
persino in $ZZ$.
Il discriminante $Delta(a_1, a_2, ... , a_n)= (P+N)^2 -4PN$ e' quindi congruo ad
un quadrato modulo $4$.
Questo ragionamento si applica ad una $ZZ$-base $\{a_1, a_2, ... , a_n\}$ di un ordine di $F$.
Siano $a_1, a_2, ... , a_n$ elementi interi di un campo di numeri $F$ di grado $n$ su $QQ$.
Siano $\tau_1,\ldots,\tau_n$ rappresentanti delle classi laterali sinistre di
$H=Gal$($\overline{QQ}$/$F$) in $Gal$($\overline{QQ}$/$QQ$).
Sia $P=\sum_{\sigma\in A_n}\prod_{i=1}^n\tau_{\sigma(i)}(a_i)$ e sia $N=\sum_{\sigma\in S_n-A_n}\prod_{i=1}^n\tau_{\sigma(i)}(a_i)$.
Il discriminante $Delta(a_1, a_2, ... , a_n)$ e' uguale a $(P-N)^2 = (P+N)^2 -4PN$.
Ogni automorfismo $\tau\in Gal$($\overline{QQ}$/$QQ$) permuta i prodotti $\prod_{i=1}^n\tau_{\sigma(i)}(a_i)$
e scambia quindi $N$ e $P$ o li lascia invarianti.
Questo implica che $N+P$ e $NP$ sono in $QQ$. Essendo interi algebrici, sono
persino in $ZZ$.
Il discriminante $Delta(a_1, a_2, ... , a_n)= (P+N)^2 -4PN$ e' quindi congruo ad
un quadrato modulo $4$.
Questo ragionamento si applica ad una $ZZ$-base $\{a_1, a_2, ... , a_n\}$ di un ordine di $F$.
Grande! Grazie mille =D
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