Gruppi ciclici, generatori e periodi
Ciao a tutti! E' da tanto che non frequento questo forum, oggi ho ripreso perché devo preparare l'esame di matematica discreta e ho alcune difficoltà circa alcuni argomenti e, visto che in passato sono stata aiutata grazie a questo forum, posterò i miei dubbi ancora una volta! La mia difficoltà riguarda i gruppi ciclici, generatori e periodi di un gruppo... pur avendo letto diversi libri di matematica che parlano di questi argomenti, non riesco a capirli..forse perché non avendo esempi pratici non riesco a risolvere i dubbi 
. Se posto una traccia di un esercizio, sapreste dirmi come devo "muovermi"? Attendo risposte, vi ringrazio di cuore in anticipo 
. Se posto una traccia di un esercizio, sapreste dirmi come devo "muovermi"? Attendo risposte, vi ringrazio di cuore in anticipo
Risposte
Prendiamo ad esempio $(ZZ_4 , +)$.
1) è ciclico? di che ordine?
2) chi sono i suoi generatori?
3) che periodo hanno i suoi generatori?
4) e gli elementi che non sono generatori?
vediamo di far luce su questi esempietti banali.
cerca di rispondere..
1) è ciclico? di che ordine?
2) chi sono i suoi generatori?
3) che periodo hanno i suoi generatori?
4) e gli elementi che non sono generatori?
vediamo di far luce su questi esempietti banali.
cerca di rispondere..
Provo a rispondere io:
1) si; di ordine [tex]4[/tex]
2) l'elemento [tex][1]_4[/tex] e [tex][3]_4[/tex]
3) non lo so...
4) quelli non coprimi con [tex]4[/tex]?
1) si; di ordine [tex]4[/tex]
2) l'elemento [tex][1]_4[/tex] e [tex][3]_4[/tex]
3) non lo so...
4) quelli non coprimi con [tex]4[/tex]?
1) , 2) giusti. La 3) ce lo dice la definizione di ordine e generatore. Se generano $ZZ_4$ e $ZZ_4$ ha quattro elementi allora..4) sì
Ok, nel caso di un insieme finito l'ordine corrisponde al numero di elementi (se non erro), quindi hanno periodo 4 (spero 
).
PS. grazie per la correzione
).PS. grazie per la correzione
se $G$ è infinito ed è ciclico, i generatori di $G$ hanno ordine infinito
mi intrufolo nella discussione....non riesco a capire come determinare l'ordine di un elemento..stando alla definizione dovrebbe essere il minimo m tale che essendo a l'elemento in questione dovremmo avere a^m=e dove e è l'elemento neutro....ma quindi nell'esempio di sopra l'ordine di tutti gli elementi di Z4 dovrebbe essere 0 perchè avremmo ma=0(dato che siamo in notazione additiva) se e solo se m=0....o no?
inoltre avrei una domanda abbastanza collegata...non riesco a venire a capo di questo problema:
questa proposizione afferma:
Se G è un gruppo finito e "a" appartiene a G
allora a^o(G) (cioè a elevato all'ordine di G)=e (elemento neutro)
prendendo l'insieme Z6-{0} e 2 come elemento a,avremmo 2^(5)=32=2.....ma l'elemento neutro dell'insieme è 2!!! cosa mi sfugge in tutto questo??
inoltre avrei una domanda abbastanza collegata...non riesco a venire a capo di questo problema:
questa proposizione afferma:
Se G è un gruppo finito e "a" appartiene a G
allora a^o(G) (cioè a elevato all'ordine di G)=e (elemento neutro)
prendendo l'insieme Z6-{0} e 2 come elemento a,avremmo 2^(5)=32=2.....ma l'elemento neutro dell'insieme è 2!!! cosa mi sfugge in tutto questo??
La definizione di ordine di un elemento è la seguente:
Dato \(\displaystyle \left[G, *\right]\) gruppo con unità \(\displaystyle e \), per ogni elemento \(\displaystyle a \in G \) si definisce ordine di \(\displaystyle a \) il minimo intero positivo \(\displaystyle n \) tale che
\[ \underbrace{a* a* \ldots *a}_{n\text{ volte}}=e\]
Quindi in $[ZZ_4,+]$ l'ordine di $0$ è $1$ (in generale, l'ordine dell'elemento neutro di qualunque gruppo è $1$), l'ordine di $1$ è $4$, l'ordine di $2$ è $2$ e l'ordine di $3$ è $4$
Ti ricordo che $[ZZ_n \\{0}, *]$ è un gruppo se e solo se $n$ è un numero primo.
Dato \(\displaystyle \left[G, *\right]\) gruppo con unità \(\displaystyle e \), per ogni elemento \(\displaystyle a \in G \) si definisce ordine di \(\displaystyle a \) il minimo intero positivo \(\displaystyle n \) tale che
\[ \underbrace{a* a* \ldots *a}_{n\text{ volte}}=e\]
Quindi in $[ZZ_4,+]$ l'ordine di $0$ è $1$ (in generale, l'ordine dell'elemento neutro di qualunque gruppo è $1$), l'ordine di $1$ è $4$, l'ordine di $2$ è $2$ e l'ordine di $3$ è $4$
"Seldon":Il problema è che $[ZZ_6 \\{0}, *]$ non è un gruppo. Infatti (ad esempio) non esiste l'inverso di $2$.
Se $G$ è un gruppo finito e $a in G$ allora $a^{\text{o}(G)}=e$.
prendendo l'insieme $ZZ_6 \\{0}$ e $a=2$, avremmo $2^(5)=32=2$...ma l'elemento neutro dell'insieme non è 2!
Ti ricordo che $[ZZ_n \\{0}, *]$ è un gruppo se e solo se $n$ è un numero primo.
si infatti ho capito il mio errore..ma se allora consideriamo lo stesso Z6 però stavolta con la somma,e prendiamo come elemento a il [2],applicando la proposizione avremo [2]x6=12 cioè 0 quadra tutto e abbiamo lelemento neutro... ok grazie mille è tutto ok
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