Ideali di Z[x]: algoritmo per i generatori minimali.

ec958
Un grazie a chi mi vorrà dire dove sbaglio in quanto segue.

Partiamo da questo teorema: Sia R un anello commutativo e unitario, siano I,J due ideali di R . Allora R/(I,J)≃(R/I)/(πI(J)) , dove πI è la proiezione naturale nel quoziente.
Poi userò il fatto che Z[X]/(X^2+1))≃Z, e che in tale proiezione π(X)=i.

Da ciò segue (se non sbaglio !) che Z[X]/(X,X^2+1)≃(Z[X]/(X^2+1))/(π(X))≃Z/(i)=Z. Essendo Z integro, ne segue che l'ideale (X,X^2+1) è un ideale primo di Z[X].
Ma questo non è vero, perché evidentemente (X,X^2+1) =Z[X]. Infatti X(-X)+(X^2+1)=1 e contenendo 1, l'ideale è pari a tutto l'anello, e quindi non è primo.
Dov'è l'errore ?
Grazie a chi mi vorrà aiutare ...

Risposte
Stickelberger
$Z$ modulo l'ideale $(i)$ e' l'anello zero. Non $Z$.

ec958
Sì, è vero, grazie, uno svarione da pivello.
Per cui Z/Z= anello nullo, non integro, giusto ?
Però sicuramente non ho digerito l'argomento, perché chiedo ancora dove è sbagliata quest'altra deduzione.

Consideriamo l'ideale I=(2x+1, X^2+1).
Allora
Z[X]/($2X+1,X^2+1$)≃(Z[X]/($X^2+1$))/(π$(2X+1)$)≃Z/(2i+1).
Ora per quanto ne so, l'anello Z/(2i+1) è isomorfo all'anello (campo) Z/(5), (ma l'errore potrebbe essere proprio questo).
Infatti essendo questo un campo, ne seguirebbe che l'ideale di partenza è massimale, fatto certamente non vero !
Chiedo ancora cortesemente dov'è l'errore.
Grazie a chi mi vorrà aiutare ...
Enrico

Studente Anonimo
Studente Anonimo
ne seguirebbe che l'ideale di partenza è massimale, fatto certamente non vero !
E invece è massimale, perché (prova a dimostrarlo) coincide con l'ideale [tex](5,x-2)[/tex], che è notoriamente massimale.

Segnalo questo.

PS. Per favore cerca di usare le formule, non è difficile: basta mettere un \$ prima della formula e un altro \$ dopo la formula. Vedi il riquadro rosa in alto, clicca su "formule".

ec958
Grazie !
Curiosità ulteriore: dato un ideale di Z[x], espresso tramite un set di generatori, esiste un algoritmo per trovare i generatori minimali ?
Nel caso specifico, come si riesce a passare (algoritmicamente) dai generatori dati a quelli minimali, 5 e x-2 ?
So che per K[x] esiste la teoria delle basi di Grobner, esiste qualcosa di simile in Z[x] ?
Grazie ancora, Enrico.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Non ne ho proprio idea. Spero che qualcun altro ti possa aiutare.

Per favore smetti di cambiare il titolo! Te lo dico in qualità di moderatore. Il titolo deve restare quello che è. Grazie.

ec958
Succede talvolta che entri in una famiglia, e sei felice di esservi entrato, perché sei intimamente convinto di aver incontrato delle persone che condividono col cuore gli stessi tuoi interessi.
La prima volta che entri nella loro casa, però, ti dicono che esistono delle regole da rispettare. Giusto.
La seconda volta che devi pulirti le scarpe, perché a casa loro si fa così, e l'hanno detto loro in qualità di proprietari. Altrettanto giusto, però ...
Nel frattempo hai la sensazione che queste persone condividano sicuramente i tuoi interessi ma, come dire, in modo alquanto freddo e distaccato, oserei dire con poca anima.
Cosa fai ? Rispetti le regole di quella famiglia, ringrazi di tutto e non entri più.
Per questo, Martino, ringrazio di ogni cosa e ti chiedo cortesemente, 'in qualità di moderatore', di annullare la mia iscrizione al vostro forum.
Peccato, poteva essere una buona occasione.
Grazie e cordialità.

Studente Anonimo
Studente Anonimo
Non capisco proprio di cosa parli. I moderatori nei forum devono fare il loro dovere, altrimenti i forum non funzionano. Forse sei rimasto deluso dalla mia risposta "fredda", ma 1) non la ritengo fredda (ti ho solo scritto la mia sincera opinione), 2) non mi sembra una buona ragione per farsi cancellare dopo 5 messaggi. Le ambientazioni richiedono un minimo di tempo. Detto questo, se proprio hai deciso, mandami un messaggio privato di conferma e ti facciamo cancellare.

ec958
Per tutti gli appassionati della materia, ecco un articolo che risolve al 100% il mio problema:

http://www.google.it/url?sa=t&rct=j&q=s ... k7BAqCcXMA

Buona lettura

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.