[risolto] polinomi irriducibili in Z/2Z - esercizio

[clackly]

Ciao a tutti, sto affrontando questo esercizio di Algebra e ho l'impressione di perdermi in un bicchier d'acqua, dunque chiedo il vostro aiuto. Viene richiesto, per prima cosa, di trovare i polinomi irriducibili di grado 1 e 2 nel campo Z/2Z, e fin qui nessun problema.
Si richiede poi di trovare i polinomi irriducibili di grado 4, sempre in Z/2Z, utilizzando il risultato precedente: qui ho l'impressione che mi sfugga il punto. Ho provato a elencare i polinomi di grado 4 che sono prodotti di polinomi di grado 1 e 2, ma questi non esauriscono tutti i polinomi di grado 4; inoltre ad esempio $x^4+x+1$ è irriducibile e non capisco quale legame abbia con $x^2+x+1$ , unico polinomio irriducibile tra quelli di grado 1 e 2, o con gli altri polinomi di grado uno e due.
Si chiede infine di utilizzare i risultati ottenuti per fattorizzare $x^16-x$ in prodotto di polinomi irriducibili e trovare il relativo campo di spezzamento, ma credo di poter risolvere facilmente questo punto dopo aver sbloccato quello di cui sopra
Grazie a tutti

[perplesso1]

Ciao. Propongo un ragionamento ma non ti assicuro che sia il migliore... Poichè i coefficienti di un polinomio in $ZZ_2$ possono essere solo $0$ e $1$ hai che esistono $2^4=16$ polinomi di grado $4$. Ma se deve essere irriducibile allora il termine noto deve essere $1$ e non $0$. Quindi ci riduciamo a $8$ polinomi. Inoltre siccome $1$ non deve essere soluzione la somma dei coefficienti NON deve essere pari. Quindi hai solo $4$ possibili candidati (scrivo solo i coefficienti dal grado più alto al termine noto ...)

1 0 0 1 1

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

da questo devi eliminare $(x^2+x+1)^2$ e direi che hai finito...

[clackly]

Grazie per la risposta, effettivamente il tuo ragionamento funziona. Direi che il mio problema era che mi aspettavo che l'appliczione del risultato del punto precedente dell'esercizio (polin irriducibili di grado 1 e 2) fosse cruciale per la risoluzione del problema in questione, mentre invece il (tuo) ragionamento corretto procede autonomamente utilizzando il risultato precedente solo per semplificare l'ultimo passaggio.
Grazie ancora