Dimostrazione teorema di De Morgan
Devo dimostrare algebricamente il teorema di de morgan:
$bar(A)*bar(B)=bar(A+B)$
potreste spiegarmi, come, con passaggi semplici posso dimostrare questo teorema?
$bar(A)*bar(B)=bar(A+B)$
potreste spiegarmi, come, con passaggi semplici posso dimostrare questo teorema?
Risposte
Se parliamo di un'algebra di Boole allora basterebbe far vedere che $\bar{A} * \bar{B}$ è il complemento di $A+B$, per prima cosa userei la distributività di $*$ e $+$ ed il fatto (vero in generale) che $C * \bar{C} = \bot$ e $C + \bar {C}= \top$, quindi
$(A+B)*(\bar{A} * \bar{B}) = (A* \bar{A} * \bar{B}) + (B* \bar{A} * \bar{B}) = \bot + \bot = \bot$
$(A+B) + (\bar{A}* \bar{B}) = (A+B + \bar{A})*(A+B + \bar{B}) = \top * \top = \top$
quindi dall'unicità del complemento segue la tesi. Se invece ho frainteso tutto chiedo scusa. Ciao.
$(A+B)*(\bar{A} * \bar{B}) = (A* \bar{A} * \bar{B}) + (B* \bar{A} * \bar{B}) = \bot + \bot = \bot$
$(A+B) + (\bar{A}* \bar{B}) = (A+B + \bar{A})*(A+B + \bar{B}) = \top * \top = \top$
quindi dall'unicità del complemento segue la tesi. Se invece ho frainteso tutto chiedo scusa. Ciao.
No, non hai frainteso affatto, però se potresti sottolineare meglio i passaggi algebrici soprattutto dove usi la distributività.
"gaten":
però se potresti sottolineare meglio i passaggi algebrici soprattutto dove usi la distributività
Eh no, mi chiedi troppo! Il regolamento vorrebbe un minimo sforzo anche da parte tua...
Piuttosto cosa dicono le leggi di distributività ? Me le sai enunciare?
Ok, grazie lo stesso ho capito. Volevo chiederti un'altra cosa, perchè per dimostrare il teorema bisogna dimostrare che $bar(A)*bar(B)$ è il complementare dil $A+B$ e non che $bar(A)*bar(B)=bar(A+B)$???
Perchè $\bar{A+B}$ è l'unico elemento tale che
$(A+B) * \bar{A+B} = \bot$
$(A+B) + \bar{A+B} = \top$
siccome ho dimostrato che anche $\bar{A} * \bar{B}$ ha la stessa proprietà, per l'unicità deduco che $\bar{A} * \bar{B} = \bar{A+B}$.
Consiglio: se vai su google e cerchi "Bool algebra logic circuits" trovi molta roba interessante per un informatico (sei un informatico vero? xD ) tipo questo http://www.asic-world.com/digital/boolean.html. Se invece vuoi un'introduzione "algebrica" ma cmq molto elementare alla teoria delle algebre booleane consiglio
S.Givant & P.Halmos, Introduction to Boolean Algebras, Springer
capitoli 1-7. Testi italiani non ne conosco (per ignoranza mia personale non perchè non ce ne siano...). Cordiali Saluti.
$(A+B) * \bar{A+B} = \bot$
$(A+B) + \bar{A+B} = \top$
siccome ho dimostrato che anche $\bar{A} * \bar{B}$ ha la stessa proprietà, per l'unicità deduco che $\bar{A} * \bar{B} = \bar{A+B}$.
Consiglio: se vai su google e cerchi "Bool algebra logic circuits" trovi molta roba interessante per un informatico (sei un informatico vero? xD ) tipo questo http://www.asic-world.com/digital/boolean.html. Se invece vuoi un'introduzione "algebrica" ma cmq molto elementare alla teoria delle algebre booleane consiglio
S.Givant & P.Halmos, Introduction to Boolean Algebras, Springer
capitoli 1-7. Testi italiani non ne conosco (per ignoranza mia personale non perchè non ce ne siano...). Cordiali Saluti.
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