Curve ellittiche su un campo finito
Gentili utenti del forum, approfitto come di consuetudine della vostra immensa disponibilità e pazienza per porvi alcuni quesiti
Riporto alcune considerazioni del libro Elliptic Curves, number theory and cryptography di Lawrence C. Washington:
1) Data la curva ellittica $E: y^2=x^2+x+1$ su $\mathbb{F}_5$ per determinarne i punti si elencano tutti i valori possibili di $x$, poi di $x^3+x+1$ $(mod 5)$ e infine si calcola la radice quadrata $y$
Conseguentemente a quanto affermato si ottiene
$E(\mathbb{F}_5)={\infty,(0,1),(0,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,2),(4,3)}$
e dunque $#E(\mathbb{F}_5)=9$. (ok, nessun problema... Tutto fila liscio)
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2) Si considera ora $E:y^2+xy=x^3+1$ su $\mathbb{F}_2$; in modo analogo all'esempio precedente si può arrivare a determinare $E(\mathbb{F}_2)={\infty,(0,1),(1,0),(1,1)}$. (Anche in questo caso nessun problema)
---------
3) Partendo da quest'ultimo esempio e considerando nuovamente la curva $E: y^2+xy=x^3+1$ su $\mathbb{F}_4$, l'autore del testo rammenta ai lettori che $\mathbb{F}_4$ è un campo finito di quattro elementi e quindi $F_4={0,1,\omega,\omega^2}$ (e già qui ho un pò di confusione... perché gli elementi di $\mathbb{F}_4$ sono scritti in questo modo? Non dovrebbe essere $\mathbb{F}_4={0,1,2,3}$?) e successivamente scrive che è valida la relazione $\omega^2+\omega+1=0$ (Ancora una volta sono confuso e dunque voglio capire perché scrive ciò...), dopodiché elenca la lista degli elementi di $\mathbb{F}_4$
$x=0\Rightarrow y^2=1\rightarrow y=1$
$x=1\Rightarrow y^2+y=0\Rightarrow y=0,1$
$x=\omega\Rightarrow y^2+\omega y=0\Rightarrow y=0,\omega$
$x=\omega^2\Rightarrow y^2+\omega^2 y=0\Rightarrow y=0,\omega^2$
$x=\infty\Rightarrow y=\infty$
(Oh Dio! Mi sono perso... Datemi una mano
)
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Riporto alcune considerazioni del libro Elliptic Curves, number theory and cryptography di Lawrence C. Washington:
1) Data la curva ellittica $E: y^2=x^2+x+1$ su $\mathbb{F}_5$ per determinarne i punti si elencano tutti i valori possibili di $x$, poi di $x^3+x+1$ $(mod 5)$ e infine si calcola la radice quadrata $y$
Conseguentemente a quanto affermato si ottiene
$E(\mathbb{F}_5)={\infty,(0,1),(0,4),(2,1),(2,4),(3,1),(3,4),(4,2),(4,3)}$
e dunque $#E(\mathbb{F}_5)=9$. (ok, nessun problema... Tutto fila liscio)
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2) Si considera ora $E:y^2+xy=x^3+1$ su $\mathbb{F}_2$; in modo analogo all'esempio precedente si può arrivare a determinare $E(\mathbb{F}_2)={\infty,(0,1),(1,0),(1,1)}$. (Anche in questo caso nessun problema)
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3) Partendo da quest'ultimo esempio e considerando nuovamente la curva $E: y^2+xy=x^3+1$ su $\mathbb{F}_4$, l'autore del testo rammenta ai lettori che $\mathbb{F}_4$ è un campo finito di quattro elementi e quindi $F_4={0,1,\omega,\omega^2}$ (e già qui ho un pò di confusione... perché gli elementi di $\mathbb{F}_4$ sono scritti in questo modo? Non dovrebbe essere $\mathbb{F}_4={0,1,2,3}$?) e successivamente scrive che è valida la relazione $\omega^2+\omega+1=0$ (Ancora una volta sono confuso e dunque voglio capire perché scrive ciò...), dopodiché elenca la lista degli elementi di $\mathbb{F}_4$
$x=0\Rightarrow y^2=1\rightarrow y=1$
$x=1\Rightarrow y^2+y=0\Rightarrow y=0,1$
$x=\omega\Rightarrow y^2+\omega y=0\Rightarrow y=0,\omega$
$x=\omega^2\Rightarrow y^2+\omega^2 y=0\Rightarrow y=0,\omega^2$
$x=\infty\Rightarrow y=\infty$
(Oh Dio! Mi sono perso... Datemi una mano
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Risposte
Non sono molto ferrato in questo (ho affrontato l'argomento solo recentemente e molte cose ancora non le ho capite), però
come fa $GF(4)$ a essere isomorfo a ${0, 1, 2, 3}$, con quali operazioni?
"P40L0":
... perché gli elementi di $\mathbb{F}_4$ sono scritti in questo modo? Non dovrebbe essere $\mathbb{F}_4={0,1,2,3}$?
come fa $GF(4)$ a essere isomorfo a ${0, 1, 2, 3}$, con quali operazioni?
Ciao Rggb, ti ringrazio per la celerità con cui hai risposto! Dalla tua risposta molto eloquente deduco che è meglio tornare a ripassare concetti evidentemente dimenticati prima di spingermi in un ulteriore lettura del testo 
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