Esercizi teoria degli insiemi

[ManMan1]

Buongiorno ,
come da titolo vorrei un aiuto per degli esercizi di algebra.
1) Siano S e T insiemi. Provare che risulta S=T se e soltanto se esiste un insieme $V$ tale che $SnnV=TnnV$ e $SuuV=TuuV$
Questo mi sembra ovvio, ma non riesco proprio a "descriverlo" matematicamente. Due insiemi uguali se intersecano un terzo insieme sono comunque uguali.

2) Siano S e T insiemi. Provare che risulta $(SuuT)nnV=Suu(TnnV)$ se e soltanto se $SsubeV$.
Questo mi sembra che abbia a che fare con la proprietà associativa dell'unione e dell'intersezione ma come prima non riesco a descriverlo.

3)Provare che, qualunque siano gli insiemi non vuoti S,T e V risulta $(SnnT)xxV=(SxxT)nn(TxxV)$
Considero un $x in SnnT$, se $y in V$ allora la coppia $(x,y) in (SnnT)xxV$, ma risulta che $(SnnT)xxV=(SxxV)nn(TxxV)$ per cui $x$ appartiene sia ad $S$ che a $T$ e quindi all'intersezione $(SxxV)nn(TxxV)$ per cui $(SnnT)xxVsube(SxxV)nn(TxxV)$
E similmente si prova l'atra inclusione...è errata questa dimostrazione?

Grazie per l'aiuto.

[Gi81]

Se $S=T$ allora banalmente esiste $V$ tale che $S nn V = T nn V$ e $S uu V= T uu V$
(ad esempio, possiamo prendere $V:=S$. in realtà va bene qualsiasi insieme)


Se esiste $V$ tale che $S nn V = T nn V$ e $S uu V= T uu V$, allora si dimostra che $S sube T$ e $T sube S$, cioè $S=T$.
Dimostro che $S sube T$ (in modo analogo si dimostra che $ T sube S$):
per ogni $x in S$ si ha $x in S uu V$, dunque $x in T uu V$ e da questo segue che $x in T$
(infatti se per assurdo $x notin T$, allora necessariamente $x in V$, da cui $x in S nn V= T nn V=> x in T$, contraddizione)