Sottogruppi di gruppo ciclico

[GiuseppePara92]

Buongorno!
Mi trovo ad affrontare un esercizio che recita: Determinare tutti i sottogruppi del gruppo $ (Z_13^*, *) $
Bene, procedo con lo svolgimento.
So che gli elementi di $ (Z_13^*, *) $ sono tutte le classi $ [a] $ modulo 13 tali che MCD(a,n) = 1, ovvero tutti gli elementi
$ {[1],[2],..., [12]} $. Ciò significa che l'ordine di $ (Z_13^*, *) $ è 12.
So inoltre che l'ordine di ogni sottogruppo divide l'ordine del gruppo (Teorema di Lagrange): perciò i sottogruppi avranno ordine 1,2,3,4,6,12.

La mia domanda è: tra gli elementi in $ (Z_13^*, *) $, come faccio a capire al volo se un elemento genera un sottogruppo? esiste una proprietà che me li indica? Oppure devo calcolare a manina ogni sottogruppo generato da ogni elemento, verificando che siano effettivamente sottogruppi?

Grazie mille per la risposta

PS: Nel gruppo $ (Z_13^*, *) $, il puntino accanto alla Z indica l'assenza della classe [0] (overo il classico Zn*). Non riuscivo a mettere l'asterisco con le formule.

PPS: La prof ha messo online lo svolgimento dell'esercizio (che risale a una traccia del 2007), ovviamente non spiegando tutto. Lei scrive che "Il gruppo e’ un gruppo ciclico di ordine 12. Esso ha 6 sottogruppi perche’ 6 sono i divisori di 12 e sono tutti ciclici, di cardinalita’ 1,2,3,4,6,12."
Come mai scrive che sono soltanto sei i sottogruppi? Non posso avere risposta da lei in quanto ora è andata in pensione

[Steven11]

Esci dall'esercizio e pensa solo al fatto che si tratta di un gruppo ciclico di ordine $12$, che chiamiamo $C_12$. Allora prendi un generatore $g \in C_{12}$. Se $k$ è un divisore di $12$, allora facilmente $g^{12/k}$ genera un sottogruppo di ordine $k$. Ma d'altra parte è un risultato noto (vedi qui per esempio) che, fissato $m$ che divide $n$, esiste un solo sottogruppo di ordine $m$ in $C_n$. Quindi quelli generati mediante i $g^{12/k}$ devono necessariamente essere tutti.

Ciao!