Come si calcola l'insieme quoziente?
Ciao,
come faccio a calcolare l'insieme quoziente delle classi di equivalenza??
per esempio:
ho una relazione R definita come 4|b + 3a con aRb (ci troviamo nell'insieme Z)
mi è stato suggerito che le classi di equivalenza si ricavano partendo da 0 (nel caso di insiemi non privi dello 0)
e sostituendo il numero all'elemento.
quindi nel caso di una classe [0] la relazione diventerà 4|b+ 3(0) --> 4|b
poi passo ad 1 quindi [1] la relazione sarà 4|b+3(1)
poi [2] con la relazione 4|b+3(2)
poi [3] con la relazione 4|b+3(3)
l'autore dell'esercizio conclude dicendo che le classi di equivalenza sono solo {[0],[1],[2],[3]} (l'insieme quoziente)
le mie domande sono:
1) le classi di equivalenza devono essere per forza numeri primi??
2) perchè ci fermiamo alla classe 3?? se per esempio provo con la classe [5], otterrei una relazione 4|b+ 3(5)
come faccio a dire che 5 appartiene ad una classe di equivalenza già esistente e non è una classe di equivalenza a sè???
Vi ringrazio
p.s. in realtà non sono sicuro della veridicità dell'esercizio, ho copiato pari passo quello che aveva scritto un amico sul suo quaderno...
come faccio a calcolare l'insieme quoziente delle classi di equivalenza??
per esempio:
ho una relazione R definita come 4|b + 3a con aRb (ci troviamo nell'insieme Z)
mi è stato suggerito che le classi di equivalenza si ricavano partendo da 0 (nel caso di insiemi non privi dello 0)
e sostituendo il numero all'elemento.
quindi nel caso di una classe [0] la relazione diventerà 4|b+ 3(0) --> 4|b
poi passo ad 1 quindi [1] la relazione sarà 4|b+3(1)
poi [2] con la relazione 4|b+3(2)
poi [3] con la relazione 4|b+3(3)
l'autore dell'esercizio conclude dicendo che le classi di equivalenza sono solo {[0],[1],[2],[3]} (l'insieme quoziente)
le mie domande sono:
1) le classi di equivalenza devono essere per forza numeri primi??
2) perchè ci fermiamo alla classe 3?? se per esempio provo con la classe [5], otterrei una relazione 4|b+ 3(5)
come faccio a dire che 5 appartiene ad una classe di equivalenza già esistente e non è una classe di equivalenza a sè???
Vi ringrazio
p.s. in realtà non sono sicuro della veridicità dell'esercizio, ho copiato pari passo quello che aveva scritto un amico sul suo quaderno...
Risposte
Sono ignorantissima... soprattutto per quanto riguarda il linguaggio che hai utilizzato.
Vado ad intuizione, ma se ti faccio perdere tempo ignorami del tutto. Allora mi sembra di intuire che i numeri 0, 1, 2, 3 siano i resti che si possono ottenere da una divisione per 4, ho capito bene? In caso affermativo se il resto è 5, non va bene perchè 5>4, vuol dire che puoi togliere 4 ancora una volta e ottenere come resto 1 e finisci nella classe di resto 1.
Vado ad intuizione, ma se ti faccio perdere tempo ignorami del tutto. Allora mi sembra di intuire che i numeri 0, 1, 2, 3 siano i resti che si possono ottenere da una divisione per 4, ho capito bene? In caso affermativo se il resto è 5, non va bene perchè 5>4, vuol dire che puoi togliere 4 ancora una volta e ottenere come resto 1 e finisci nella classe di resto 1.
"nrush":
poi passo ad 1 quindi [1] la relazione sarà 4|b+3(1)
Continua a lavorare su questo: la classe [1] contiene tutti i $b$ tali che $4 | b+3$, quindi tutti i $b$ che si possono scrivere come $4k-3$, e quindi tutti i $b$ che si possono scrivere come $4k+1$ con $k$ intero. A questo punto è evidente che 5 appartiene alla classe [1]
Se svolgi gli stessi passaggi per [0], [2] e [3] vedrai che queste coprono tutto $\mathbb{Z}$
Prima di tutto grazie ad entrambi per le risposte 
ad ogni modo,
il ragionamento dovrebbe essere:
la mia relazione è 4|b+3a??
ci troviamo nell'insieme $ZZ$ di conseguenza per ogni $ x in ZZ $
b = 4k - 3(x)
quindi
presa la classe di equivalenza [1] , b = 4k +1, gli x appartenenti a $ZZ$ che concidono questa classe sono per esempio:
b = 4(0)+ 1 , quindi 1
b = 4(1)+ 1 , quindi 5
b = 4(2)+ 1 , quindi 9
e così via...
la classe di equivalenza [3] sarà
b = 4(0) + 3 , quindi 3
b = 4(1) + 3 , quindi 7
b = 4(2) + 3 , quindi 11
e così via...
se la classe di eq fosse [5]
avrei
b = 4(0) + 5 , quindi 5, che coincide con quella di [1]
se fosse [7] avrei
b = 4(0) + 7 che concide con [3]...
è giusto il ragionamento?
mi rimane questa domanda:
come passiamo a considerare
b = 4k - 3
come
b = 4k + 1
??
ad ogni modo,
il ragionamento dovrebbe essere:
la mia relazione è 4|b+3a??
ci troviamo nell'insieme $ZZ$ di conseguenza per ogni $ x in ZZ $
b = 4k - 3(x)
quindi
presa la classe di equivalenza [1] , b = 4k +1, gli x appartenenti a $ZZ$ che concidono questa classe sono per esempio:
b = 4(0)+ 1 , quindi 1
b = 4(1)+ 1 , quindi 5
b = 4(2)+ 1 , quindi 9
e così via...
la classe di equivalenza [3] sarà
b = 4(0) + 3 , quindi 3
b = 4(1) + 3 , quindi 7
b = 4(2) + 3 , quindi 11
e così via...
se la classe di eq fosse [5]
avrei
b = 4(0) + 5 , quindi 5, che coincide con quella di [1]
se fosse [7] avrei
b = 4(0) + 7 che concide con [3]...
è giusto il ragionamento?
mi rimane questa domanda:
come passiamo a considerare
b = 4k - 3
come
b = 4k + 1
??
"nrush":
come passiamo a considerare
b = 4k - 3
come
b = 4k + 1
??
$4k-3=4k-4+1=4(k-1)+1$ e poni $h=k-1$... Va bene?
magia nera
grazie mille!!!
p.s. il resto del ragionamento che sta sopra è giusto?
grazie mille!!!
p.s. il resto del ragionamento che sta sopra è giusto?
Come calcolo l insieme quoziente di NxN se la relazione è: (a,b)R(c,d) se e solo se a+d=b+c per ogni a,b,c,d appartenenti a N
Come calcolo l insieme quoziente di NxN se la relazione è: (a,b)R(c,d) se e solo se a+d=b+c per ogni a,b,c,d appartenenti a N
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