\( G/H\) abeliano \( \implies b^{-1}a^{-1} b a \in H\)
Siano $G$ gruppo e $H$ sottogruppo normale di $G$ tali che il gruppo quoziente \( G/H \) è abeliano.
Dimostrare che per ogni $a,b in G$ si ha $b^(-1) a^(-1) ba in H$
Dato che \( G/H \) è abeliano, per ogni $a,b in G$ si ha $(aH) (bH) = (bH) (aH)$, cioè $ab H = ba H $
Moltiplicando ambo i membri per $a^(-1)$ si ha $b H= a^{-1} ba H$
Moltiplicando ambo i membri per $b^{-1}$ si ha $H=b^(-1) a^(-1) ba H$, cioè $b^(-1) a^(-1) ba in H$.
E' corretta questa dimostrazione?
Risposte
Ciao!
A me sembra corretta. Hai trovato che \(\displaystyle b^{-1}a^{-1}ba \in H \), e questo \(\displaystyle b^{-1}a^{-1}ba \) si chiama commutatore, scritto \(\displaystyle [b,a] \). Si vede che \(\displaystyle ba=ab \iff [b,a]=1 \), e quindi un gruppo \(\displaystyle G \) è abeliano solo se l'insieme dei commutatori dei suoi elementi è il singoletto dell'elemento neutro, ovvero \(\displaystyle \{[x,y] : x,y \in G\}=\{1\} \).
Perciò, se \(\displaystyle G/H \) è abeliano (quindi il suo elemento neutro è \(\displaystyle H \)), allora \(\displaystyle \{[x,y] : x,y \in G/H \} \subseteq H \).
Spero sia tutto chiaro
A me sembra corretta. Hai trovato che \(\displaystyle b^{-1}a^{-1}ba \in H \), e questo \(\displaystyle b^{-1}a^{-1}ba \) si chiama commutatore, scritto \(\displaystyle [b,a] \). Si vede che \(\displaystyle ba=ab \iff [b,a]=1 \), e quindi un gruppo \(\displaystyle G \) è abeliano solo se l'insieme dei commutatori dei suoi elementi è il singoletto dell'elemento neutro, ovvero \(\displaystyle \{[x,y] : x,y \in G\}=\{1\} \).
Perciò, se \(\displaystyle G/H \) è abeliano (quindi il suo elemento neutro è \(\displaystyle H \)), allora \(\displaystyle \{[x,y] : x,y \in G/H \} \subseteq H \).
Spero sia tutto chiaro
Grazie 
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