Riducibilità di $x^4+1$

[mauri54]

Devo provare che il polinomio $f=x^4+1$ è riducibile in $\mathbb{Z_p}[x]$ per ogni p primo.
C'è una caratterizzazione per questo polinomio che afferma:

Caratterizzazione: Il polinomio $f=x^4+1$ è riducibile in $K[x]$ se e solo se esiste in $K$ uno dei seguenti elementi:
- un elemento $a\in K$ tale che $a^4=-1$;
- un elemento $a\in K$ tale che $a^2=-1$;
- un elemento $a\in K$ tale che $a^2=2$;
- un elemento $a\in K$ tale che $a^2=-2$;

Bisognerebbe capire se uno tra -1,2,-2 è un quadrato in $\mathbb{Z}_p\setminus{0}$, ma non ci riesco.
Idee?

[dan952]

Se $p=17$ abbiamo che $x^4+1=(x-2)(x^3+2x^2+4x+8)$, infatti $2^4+1 -= 0\ mod 17$

[mauri54]

Si ok. Ma è fatto solo per un $p$ specifico. Se mi danno il $p$ preciso forse ci riesco, ma dovrei farlo per ogni p primo.

[dan952]

Sei sicuro che il testo chieda di dimostrare l'irriducibilità e non la "riducibilità"?

[mauri54]

Si si scusa avevo scritto male. Me ne sono accorto solo ora. Nel titolo ho scritto bene ma nel testo no.