\( A/I \simeq A_1/ I_1 \implies A= A_1+I \)
Abbiamo $A$ anello di Dedekind, $I$ un suo ideale massimale.
Poi abbiamo $A_1$ un sottoanello proprio di $A$ e $I_1:= A_1 nn I$ ideale massimale di $A_1$.
Se \( A/I \) è isomorfo ad \( A_1 /I_1 \), possiamo concludere che $A= A_1 +I$?
Poi abbiamo $A_1$ un sottoanello proprio di $A$ e $I_1:= A_1 nn I$ ideale massimale di $A_1$.
Se \( A/I \) è isomorfo ad \( A_1 /I_1 \), possiamo concludere che $A= A_1 +I$?
Risposte
Mi sembra di no, prendi $A=ZZ[sqrt{2}]$ e $A_1=ZZ$ e $I=5A$ (poi controllo meglio con carta e penna). Ma sarebbe utile avere un contesto.
Sì, forse è meglio. L'argomento è campi di numeri ed estensioni di Galois.
Siano $K, L$ campi di numeri, con $L$ estensione normale di $K$.
Dunque, posto $G:= \text{Gal}(L // K):= { sigma in \text{Aut}(L) | sigma( alpha) = alpha \quad AA alpha in K}$ (gruppo di Galois), si ha $|G|= [L]$.
Sia $R$ l'anello degli interi di $K$, ed $S$ l'anello degli interi di $L$.
Sia $P$ un ideale primo di $R$ e sia $Q$ un ideale primo di $S$ che giace sopra $L$.
Poniamo $E:=E(Q|P):= {sigma in G | sigma(alpha) -= alpha (\text{mod} Q)}$ (gruppo di inerzia).
Sia $L_E:={beta in L | sigma(beta) = beta \quad AA sigma in E}$ il campo fisso di $E$, e sia $S_E$ il suo anello degli interi.
Si ha che $R$ è sottoanello di $S_E$, ed $S_E$ è sottoanello di $S$.
Dato che l'anello degli interi di un qualsiasi campo di numeri è un dominio di Dedekind, e in un dominio di Dedekind ogni ideale primo è massimale, si ha che $P$ è ideale massimale di $R$, $Q$ è ideale massimale di $S$, e $Q \cap S_E$ (che è l'ideale primo di $S_E$ che giace tra $P$ e $Q$) è ideale massimale di $S_E$.
Ebbene, si ha \( S/Q \simeq S_E / (Q \cap S_E) \). Fin qui ci sono.
Da questo dovrei concludere che $S \sube S_E+ Q $.
Siano $K, L$ campi di numeri, con $L$ estensione normale di $K$.
Dunque, posto $G:= \text{Gal}(L // K):= { sigma in \text{Aut}(L) | sigma( alpha) = alpha \quad AA alpha in K}$ (gruppo di Galois), si ha $|G|= [L]$.
Sia $R$ l'anello degli interi di $K$, ed $S$ l'anello degli interi di $L$.
Sia $P$ un ideale primo di $R$ e sia $Q$ un ideale primo di $S$ che giace sopra $L$.
Poniamo $E:=E(Q|P):= {sigma in G | sigma(alpha) -= alpha (\text{mod} Q)}$ (gruppo di inerzia).
Sia $L_E:={beta in L | sigma(beta) = beta \quad AA sigma in E}$ il campo fisso di $E$, e sia $S_E$ il suo anello degli interi.
Si ha che $R$ è sottoanello di $S_E$, ed $S_E$ è sottoanello di $S$.
Dato che l'anello degli interi di un qualsiasi campo di numeri è un dominio di Dedekind, e in un dominio di Dedekind ogni ideale primo è massimale, si ha che $P$ è ideale massimale di $R$, $Q$ è ideale massimale di $S$, e $Q \cap S_E$ (che è l'ideale primo di $S_E$ che giace tra $P$ e $Q$) è ideale massimale di $S_E$.
Ebbene, si ha \( S/Q \simeq S_E / (Q \cap S_E) \). Fin qui ci sono.
Da questo dovrei concludere che $S \sube S_E+ Q $.
Come dimostri che $S/Q \cong S_E/(Q \cap S_E)$?
Cavolo, riguardando gli appunti ho notato che si dimostra che sono proprio uguali, non solo isomorfi.
E questo risolve tutto. Che stordito che sono.
La dimostrazione è la seguente:
Per comodità poniamo $Q_E := Q cap S_E$.
\( S/Q \) e \( S_E/Q_E \) sono campi finiti (perché $Q$ e $Q_E$ sono massimali), e \( S_E /Q_E \) è chiaramente sottocampo di \( S/Q \)
Si dimostra che \( [S/Q : S_E/Q_E ] = 1 \), da cui l'uguaglianza.
Se ti interessa te la scrivo.
E questo risolve tutto. Che stordito che sono.
La dimostrazione è la seguente:
Per comodità poniamo $Q_E := Q cap S_E$.
\( S/Q \) e \( S_E/Q_E \) sono campi finiti (perché $Q$ e $Q_E$ sono massimali), e \( S_E /Q_E \) è chiaramente sottocampo di \( S/Q \)
Si dimostra che \( [S/Q : S_E/Q_E ] = 1 \), da cui l'uguaglianza.
Se ti interessa te la scrivo.
Sì grazie. Mi interessa.
Più precisamente, quello che hai scritto implica che la composizione $S_E \to S \to S/Q$ è suriettiva. Cioè quello che ti serve
Più precisamente, quello che hai scritto implica che la composizione $S_E \to S \to S/Q$ è suriettiva. Cioè quello che ti serve
Sia \(\displaystyle \theta = \alpha +Q \in S/Q \) (dunque \(\displaystyle \alpha \in S \)).
Sappiamo che \(\displaystyle \text{Gal}(L | L_E) = E \).
Definiamo \(\displaystyle g(x):= \prod_{\tau \in E} (x - \tau(\alpha) ) \)
Per ogni \(\displaystyle \sigma \in E \) si ha \(\displaystyle \sigma( g(x))=
\prod_{\tau \in E} \bigl(x - \sigma\left(\tau(\alpha)\right) \bigr) = g(x)\)
(perchè \(\displaystyle \varphi_{\sigma}: E \to E\) definita da \(\displaystyle \varphi_{\sigma}(\tau):= \sigma \tau \) è biunivoca)
Dunque \(\displaystyle g(x) \in L_E [x] \). Inoltre, dato che \(\displaystyle \alpha \in S \implies \tau (\alpha) \in S \) per ogni \(\displaystyle \tau \in E\), si ha \(\displaystyle g(x) \in S_E [x] \).
Ora, $g(x)$ ridotto modulo $Q$ sta in \(\displaystyle S_E/(Q \cap S_E) [ x ] = S_E/Q_E [ x ] \).
\(\displaystyle g(x) \mod Q = \prod_{\tau \in E} (x - \tau(\alpha) ) \mod Q = \prod_{\tau \in E} (x - \alpha ) \mod Q =\)
\(\displaystyle = \prod_{\tau \in E} (x - \theta ) \mod Q = (x-\theta)^{|E|} \mod Q\)
Ogni elemento di \(\displaystyle \text{Gal}( S/Q | S_E/Q_E )\) manda \(\displaystyle \theta \) in un'altra radice del suo polinomio minimo in \(\displaystyle S_E/Q_E [ x ] \). Ma tale polinomio divide \(\displaystyle g(x) \mod Q \), quindi tale polinomio è \(\displaystyle x-\theta \), cioè \(\displaystyle \theta \in S_E/Q_E \)
Sappiamo che \(\displaystyle \text{Gal}(L | L_E) = E \).
Definiamo \(\displaystyle g(x):= \prod_{\tau \in E} (x - \tau(\alpha) ) \)
Per ogni \(\displaystyle \sigma \in E \) si ha \(\displaystyle \sigma( g(x))=
\prod_{\tau \in E} \bigl(x - \sigma\left(\tau(\alpha)\right) \bigr) = g(x)\)
(perchè \(\displaystyle \varphi_{\sigma}: E \to E\) definita da \(\displaystyle \varphi_{\sigma}(\tau):= \sigma \tau \) è biunivoca)
Dunque \(\displaystyle g(x) \in L_E [x] \). Inoltre, dato che \(\displaystyle \alpha \in S \implies \tau (\alpha) \in S \) per ogni \(\displaystyle \tau \in E\), si ha \(\displaystyle g(x) \in S_E [x] \).
Ora, $g(x)$ ridotto modulo $Q$ sta in \(\displaystyle S_E/(Q \cap S_E) [ x ] = S_E/Q_E [ x ] \).
\(\displaystyle g(x) \mod Q = \prod_{\tau \in E} (x - \tau(\alpha) ) \mod Q = \prod_{\tau \in E} (x - \alpha ) \mod Q =\)
\(\displaystyle = \prod_{\tau \in E} (x - \theta ) \mod Q = (x-\theta)^{|E|} \mod Q\)
Ogni elemento di \(\displaystyle \text{Gal}( S/Q | S_E/Q_E )\) manda \(\displaystyle \theta \) in un'altra radice del suo polinomio minimo in \(\displaystyle S_E/Q_E [ x ] \). Ma tale polinomio divide \(\displaystyle g(x) \mod Q \), quindi tale polinomio è \(\displaystyle x-\theta \), cioè \(\displaystyle \theta \in S_E/Q_E \)
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