Dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca

[milos144]

Se $T$e $S $ non sono vuoti allora esiste una corrispondenza biunivoca tra $SxT$e $TxS$

Io ho ragionato così :
Un'applicazione tra $S$ e$T$ è un sottoinsieme di $SxT$ tale che per ogni $s in S$ esiste un unico $t in T$ tale che la coppia ordinata $(s,t)$ sta in $M $. Stessa cosa vale per il sottoinsieme di $TxS$, per cui esiste un'inversa, si tratta allora di una funzione biettiva.

Penso però che questo sia molto riduttivo... chiedo un piccolo aiuto.

[kobeilprofeta]

non basta associare all'elemento $(s,t)$ l'elemento $(t,s)$?

[milos144]

Grazie per l'aiuto, ma qualcuno mi può far vedere come procedere... ho guardato in giro, ma non ho trovato nulla.
Comunque è un esercizio preso dal libro herstein

[axpgn]

Ma te lo ha detto ... per ogni elemento $(s,t) in S xx T$ esiste sicuramente uno e un solo elemento $(t,s) in T xx S$ quindi l'applicazione che li collega è biunivoca ...

[milos144]

Grazie....pensavo fosse più articolata la dimostrazione. Il discorso era: dato che si afferma che esiste una corrispondenza biunivoca , tra i due sottinsiemi, basta associare ad ogni immagine una controimmagine, quindi si ottiene una funzione iniettiva e una suriettiva. Spero di aver detto bene.

[axpgn]

Direi l'inverso, cioè dato che il numero di elementi di entrambi gli insiemi è lo stesso (altrimenti non esiste una funzione biunivoca tra insiemi finiti) e che è possibile "legare" ogni elemento di un insieme ad uno e un solo elemento dell'altro (come visto precedentemente) allora esiste sicuramente almeno una corrispondenza biunivoca tari due insiemi.

Cordialmente, Alex

[milos144]

Prima di tutto grazie per l'aiuto...ho un dubbio:
Se questa volta ho tre insiemi $A,B,C$ non vuoti e devo dimostrare che esiste una corrispondenza biunivoca
da $(AxB)xC $ a $A x (BxC)$ posso sempre ragionare allo stesso modo? Cioè basta associare alla terna $a,b,c $ la terna $a,b,c $:
Ad ogni elemento del primo insieme associo un unico elemento elemento del secondo insieme. Mi sembra la funzione identità...

Posso dire $(AxB)xC= AxBxC=Ax (BxC)?$

[milos144]

Considerato che non deve essere difficile, lo sarà per me, è giusto il ragionamento da me fatto...o meglio, come si può fare

Grazie