Estensione algebrica (in parte)

[plinko1]

Buongiorno, mi servirebbe una mano per una dimostrazione. In un esercizio sulle estensioni algebriche ho che $u=sqrt(2+sqrt(5))$ , per fare un punto di questo esercizio mi servirebbe far vedere che $sqrt(5)$ sta in $QQ(u)$. Ho già affrontato un esercizio simile, con $u=sqrt(5)+sqrt(3)$ fatto anche in classe dal professore e ho dimostrato sia che $sqrt(5)$ che $sqrt(3)$ stanno in $QQ(u)$. Facendo un procedimento simile però non arrivo da nessuna parte nel mio caso. Qualcuno sa darmi una mano?
Scrivo anche il punto dell'esercizio con la mia soluzione parziale: Scrivere l’elemento $(u+1)/u$ di $QQ(u)$ come polinomio in u. Sono arrivato a dire facendo sostituzioni e passaggi algebrici che $(sqrt(5)-2)u+1 in QQ(u)$ se $sqrt(5) in QQ(u)$, visto che 1 e -2 appartengono sicuramente. Sono fuori strada completamente o può andare?

[killing_buddha]

Mi sfugge quale sia la difficolta': se \(u = \sqrt{2+\sqrt{5}}\), allora \(u^2 - 2 = \sqrt{5}\). Allora \((u^2 - 2)^2 = 5\), e questo e' un polinomio a coefficienti interi perfettamente legittimo in \( \mathbb{Q}(u)\).

Per il secondo problema, si tratta semplicemente di scrivere \( \frac{1+u}{u} = 1 + \frac{1}{u}\), e quindi $1+ u^{-1}$ e' un elemento di \( \mathbb{Q}(u) \) (come si scrive l'inverso di $u$ in \( \mathbb{Q}(u) \)?)

[plinko1]

Quindi solo per il fatto che è algebrico anche $sqrt(5)$ è compreso in $QQ(u)$? Perchè io il fatto di far vedere che è un polinomio a coefficienti interi lo uso per quello. Per trovare l'inverso ho qualche difficoltà in $QQ(u)$, un aiuto? Si usa la solita ""tecnica"" $u^-1*u=1$?

PS. grazie mille per l'aiuto