Algebra: anelli meravigliosi e dove trovarli
Buon pomeriggio,
sono qui a cercare di risolvere qualche prova d'esame di Algebra 2, mi date qualche aiutino e volendo un pò di supporto psicologico? Se vi avanza?
Il problema è che il primo esercizio ha abbastanza senso (correggetemi se sbaglio) ma il secondo mi manda in panico.
Qualche suggerimento?
Ex 1
Sia $(F_{11},+,\cdot)$ un campo finito con 11 elementi.
Sia $ \sub F_{11}[X]$ l'ideale generato dal polinomio $X^3+X+1$ in $F_{11}[X]$ e definisci l'anello quoziente
$R=F_{11}[X]/{} $
a) Trova un elemento primitivo di $F_{11}[X]$
Ogni elemento di $F_{11}[X]$ ha ordine moltiplicativo che è un divisore di $10$, quindi l'ordine può essere $1,2,5,10$
Un elemento con ordine $10$ ($11-1$) è detto elemento primivito.
Da:
$2^1 =2 \ne 1$
$2^2 = 4 \ne 1$
$2^5 \ne 1$
$2^10 = 1$
Segue che l'ordine è $text{ord}(2)=10$, segue che $2$ è un elemento primitivo di $F_{11}[X]$.
b) L'anello $(R,+,\cdot)$ è un campo? Se no, trova un divisore dello zero in R.
Il polinomio $X^3+X+1$ ha $2$ come radice, quindi è riducibile e di conseguenza (R,+, \cdot) non è un campo
c)L'elemento $X+$ è un'unità di R? Se si scrivi l'inverso, altrimenti spiega perché non è un'unità.
Dato che $\text{gcd}(X,X^3+X+1)=1$, l'elemento $X+$ è un'unità di $R$.
Usando l'algoritmo di Euclide:
$1 \cdot (X^3+X+1)-(X^2+1)X=1$
Da cui segue che
$(X+)^{-1}=10X^2+10+$
Ex 2
-Sia $(F_2,+,\cdot)$ un campo finito con due elementi $F_2={0,1}$.
Sia $R=F_2[X]/{}$
a) Quanti elementi ha $R$?
$R$ ha $2^3=8$, il numero di elementi di $F_2$ elevato al grado del polinomio $x^3$
b) Trova i divisori dello zero nell'anello $(R,+, \cdot)$
c) Trova l'inverso (moltiplicativo) dell'elemento $X+1+ \in R$
d) Quanti elementi contiene $R^*$, l'insieme delle unità in $R$?
ps: se c'è un modo più carino per scrivere l'insieme quoziente per favore ditemelo, che scritto così mi fa male agli occhi!
sono qui a cercare di risolvere qualche prova d'esame di Algebra 2, mi date qualche aiutino e volendo un pò di supporto psicologico? Se vi avanza?
Il problema è che il primo esercizio ha abbastanza senso (correggetemi se sbaglio) ma il secondo mi manda in panico.
Qualche suggerimento?
Ex 1
Sia $(F_{11},+,\cdot)$ un campo finito con 11 elementi.
Sia $
$R=F_{11}[X]/{
a) Trova un elemento primitivo di $F_{11}[X]$
Ogni elemento di $F_{11}[X]$ ha ordine moltiplicativo che è un divisore di $10$, quindi l'ordine può essere $1,2,5,10$
Un elemento con ordine $10$ ($11-1$) è detto elemento primivito.
Da:
$2^1 =2 \ne 1$
$2^2 = 4 \ne 1$
$2^5 \ne 1$
$2^10 = 1$
Segue che l'ordine è $text{ord}(2)=10$, segue che $2$ è un elemento primitivo di $F_{11}[X]$.
b) L'anello $(R,+,\cdot)$ è un campo? Se no, trova un divisore dello zero in R.
Il polinomio $X^3+X+1$ ha $2$ come radice, quindi è riducibile e di conseguenza (R,+, \cdot) non è un campo
c)L'elemento $X+
Dato che $\text{gcd}(X,X^3+X+1)=1$, l'elemento $X+
Usando l'algoritmo di Euclide:
$1 \cdot (X^3+X+1)-(X^2+1)X=1$
Da cui segue che
$(X+
Ex 2
-Sia $(F_2,+,\cdot)$ un campo finito con due elementi $F_2={0,1}$.
Sia $R=F_2[X]/{
a) Quanti elementi ha $R$?
$R$ ha $2^3=8$, il numero di elementi di $F_2$ elevato al grado del polinomio $x^3$
b) Trova i divisori dello zero nell'anello $(R,+, \cdot)$
c) Trova l'inverso (moltiplicativo) dell'elemento $X+1+
d) Quanti elementi contiene $R^*$, l'insieme delle unità in $R$?
ps: se c'è un modo più carino per scrivere l'insieme quoziente per favore ditemelo, che scritto così mi fa male agli occhi!
Risposte
Benvenuto nel forum 
Avresti dovuto postare la domanda nella sezione di Algebra, ecc... e non geometria algebra lineare.
Premetto che ho iniziato questa materia da due mesi, perciò gradirei anch'io ricevere una conferma dalla risposta
EX.2
$mathbb(F) $ per me è $ZZ/(2ZZ)$. Cioè l'insieme che contiene i resti della divisione di un numero intero per $2$.
a)
Il risultato è corretto. Solo che non si capisce molto dalla tua spiegazione
Diciamo che i rappresentanti di questo anello, che è euclideo, sono i resti della divisione per l'ideale $J=X^3$.
Chiaramente questi resti sono della forma ${aX^2 + bX+c: a,b,c in mathbb(F) }$
Ovviamente abbiamo esattamente $2^3$ possibilità, pertanto il nostro anello ha 8 elementi.
b)
Nota che tale insieme non è un campo, in quanto l'ideale per cui quozienti non è un polinomio irriducibile $mathbb(F) $.
Prendi per esempio il polinomio $p(x)=X^6$. Questo sta nella classe $overline(0)$. Per cui i divisori dello zero sono tutti i polinomi multipli di $X^3$.
c)
Prima di mettersi a cercare l'inverso con l'algoritmo euclideo, è bene verificare che i due polinomi siano coprimi.
$gcd(X^3, X+1)=1$ per cui ha senso cercare l'inverso.
Il nostro scopo è scrivere l'identità di Bezòut (sapresti dire perché?):
Effettua la divisione tra polinomi e otterrai:
$X^3+X+1 = (X+1)(X^2-X+2) -1$ da cui
$1 = (X+1)(X^2-X+2) -X^3+X+1$. Per cui l'inverso è dato da $X^2-X+2$, che in $mathbb(F) =X^2+X+2$, in quanto $ -1-=1 $
Prova a verificarlo, funziona !
d)
$|U(R)|=|R- overline(0)|=7$. Cioè gli elementi invertibili sono tutti tranne i multipli di $X^3$
Spero di non aver commesso errori
Avresti dovuto postare la domanda nella sezione di Algebra, ecc... e non geometria algebra lineare.
Premetto che ho iniziato questa materia da due mesi, perciò gradirei anch'io ricevere una conferma dalla risposta
EX.2
$mathbb(F) $ per me è $ZZ/(2ZZ)$. Cioè l'insieme che contiene i resti della divisione di un numero intero per $2$.
a)
Il risultato è corretto. Solo che non si capisce molto dalla tua spiegazione
Diciamo che i rappresentanti di questo anello, che è euclideo, sono i resti della divisione per l'ideale $J=X^3$.
Chiaramente questi resti sono della forma ${aX^2 + bX+c: a,b,c in mathbb(F) }$
Ovviamente abbiamo esattamente $2^3$ possibilità, pertanto il nostro anello ha 8 elementi.
b)
Nota che tale insieme non è un campo, in quanto l'ideale per cui quozienti non è un polinomio irriducibile $mathbb(F) $.
Prendi per esempio il polinomio $p(x)=X^6$. Questo sta nella classe $overline(0)$. Per cui i divisori dello zero sono tutti i polinomi multipli di $X^3$.
c)
Prima di mettersi a cercare l'inverso con l'algoritmo euclideo, è bene verificare che i due polinomi siano coprimi.
$gcd(X^3, X+1)=1$ per cui ha senso cercare l'inverso.
Il nostro scopo è scrivere l'identità di Bezòut (sapresti dire perché?):
Effettua la divisione tra polinomi e otterrai:
$X^3+X+1 = (X+1)(X^2-X+2) -1$ da cui
$1 = (X+1)(X^2-X+2) -X^3+X+1$. Per cui l'inverso è dato da $X^2-X+2$, che in $mathbb(F) =X^2+X+2$, in quanto $ -1-=1 $
Prova a verificarlo, funziona !
d)
$|U(R)|=|R- overline(0)|=7$. Cioè gli elementi invertibili sono tutti tranne i multipli di $X^3$
Spero di non aver commesso errori
Sposto in Algebra
"feddy":
Benvenuto nel forum
Avresti dovuto postare la domanda nella sezione di Algebra, ecc... e non geometria algebra lineare.
Ciao Feddy,
onestamente non avevo notato la sezione Geometria, grazie
"feddy":
b)
Prendi per esempio il polinomio $p(x)=X^6$. Questo sta nella classe $overline(0)$. Per cui i divisori dello zero sono tutti i polinomi multipli di $X^3$.
Questo punto non mi molto chiaro, puoi provare a rispiegarmelo?
il risultato in d) è una conseguenza del fatto che i divisori dello zero sono tutti i polinomi multipli di $X^3$?
in b) ho semplicemente fatto un esempio: qual è il resto della divisione di quel polinomio per il polinomio per cui quozienti ? Ovviamente il resto è $0$, perché $X^6=X^3 \cdot X^3$.
d) sì
d) sì
Non e' corretto. I divisori dello zero sono i multipli di $X$:
$0$, $X$, $X^2$ e $X^2+X$.
Gli altri elementi di $R$ sono invertibili:
$1$, $1+X$, $1+X^2$ e $1+X+X^2$.
$0$, $X$, $X^2$ e $X^2+X$.
Gli altri elementi di $R$ sono invertibili:
$1$, $1+X$, $1+X^2$ e $1+X+X^2$.
Grazie mille per la correzione Stickerlberger !
Gli 8 elementi che hai scritto sono gli elementi di $R$, e fin qua ci sono.
Non capisco perché i divisori dello zero sono proprio quelli... insomma, da quello che so io, se la divisione per il quoziente da resto nullo allora stanno nella classe $overline(0)$. Ma come posso dividere, che ne so, $X^2+X $ per $X^3$ ?
Grazie mille
Gli 8 elementi che hai scritto sono gli elementi di $R$, e fin qua ci sono.
Non capisco perché i divisori dello zero sono proprio quelli... insomma, da quello che so io, se la divisione per il quoziente da resto nullo allora stanno nella classe $overline(0)$. Ma come posso dividere, che ne so, $X^2+X $ per $X^3$ ?
Grazie mille
Un elemento $x\in R$ si dice divisore dello zero se esiste $y!=0$ tale che $xy=0$.
Ogni elemento che ho scritto moltiplicato per $X^2$ fa zero,
ed e' quindi un divisore dello zero.
Non puoi dividere $X^2+X$ per $X^3$, perche' $X^3=0$, ma $X^2+X!=0$ in $R$.
Ogni elemento che ho scritto moltiplicato per $X^2$ fa zero,
ed e' quindi un divisore dello zero.
Non puoi dividere $X^2+X$ per $X^3$, perche' $X^3=0$, ma $X^2+X!=0$ in $R$.
Ok, ora mi è chiaro il perché lo siano
un ultima cosa: come hai fatto a dire che sono proprio i multipli di $X$?
A occhio oppure c'è qualche procedimento analitico ?
un ultima cosa: come hai fatto a dire che sono proprio i multipli di $X$?
A occhio oppure c'è qualche procedimento analitico ?
L'elemente $X\in R$ e' divisore dello zero perche' $X\cdot X^2=0$ in $R$.
Ogni multiplo di $X$ e' anche divisore dello zero.
Cosi' ho trovato i primi quattro elementi.
I quattro elementi sono persino nilpotenti, perche' loro terze potenze fanno zero.
Poi, e' ben noto che se $\alpha$ e' nilpotente, allora $1+\alpha$ e' invertibile.
Ogni multiplo di $X$ e' anche divisore dello zero.
Cosi' ho trovato i primi quattro elementi.
I quattro elementi sono persino nilpotenti, perche' loro terze potenze fanno zero.
Poi, e' ben noto che se $\alpha$ e' nilpotente, allora $1+\alpha$ e' invertibile.
Chiarissimo, altrimenti avrei potuto costruire la tavola della moltiplicazione, e avrei trovato che il prodotto di quegli elementi da proprio lo $0$ di $R$. Solo che avrei dovuto fare $64$ operazioni
Grazie mille, veramente !
Grazie mille, veramente !
prego! 
Grazie ad entrambi!
Qualcuno mi spiega perché $X^3=0$?
Qualcuno mi spiega perché $X^3=0$?
Ci provo io:
in generale, dato un anello $(R,+,\cdot)$ e un suo ideale $I$ (che supponiamo essere bilatero), sul gruppo quoziente $(R\\I,+)$, definiamo una moltiplicazione tra i rappresentanti. Presumo tu abbia dimostrato che sia ben definita, ecc.
In questo modo stiamo dotando il gruppo quoziente della moltiplicazione, formando così l'anello quoziente $(R\\I,+,\cdot)$
Gli elementi sono: $ overline(a)={a+y: y in I}= a+I $.
Da qui puoi notare come si ha: $overline(0)=I$, mentre $overline(1)=1+I$.
Inoltre $overline(a)=overline(b) <=> a-b in I$.
Nel nostro caso $I$ è proprio l'ideale generato da $X^3$, mentre l'anello che stiamo considerando è l'anello dei polinomi a coefficienti in $mathbb(F_2)$. Siamo in un anello euclideo e pertanto possiamo fare la divisione tra polinomi.
I rappresentanti di questo anello quoziente $ R=mathbb(F_2)[x]\\X^3 $ sono i resti della divisione per $X^3$.
E la classe $overline(0)$ individua esattamente i polinomi che divisi per $X^3$ danno resto pari a $0$.
in generale, dato un anello $(R,+,\cdot)$ e un suo ideale $I$ (che supponiamo essere bilatero), sul gruppo quoziente $(R\\I,+)$, definiamo una moltiplicazione tra i rappresentanti. Presumo tu abbia dimostrato che sia ben definita, ecc.
In questo modo stiamo dotando il gruppo quoziente della moltiplicazione, formando così l'anello quoziente $(R\\I,+,\cdot)$
Gli elementi sono: $ overline(a)={a+y: y in I}= a+I $.
Da qui puoi notare come si ha: $overline(0)=I$, mentre $overline(1)=1+I$.
Inoltre $overline(a)=overline(b) <=> a-b in I$.
Nel nostro caso $I$ è proprio l'ideale generato da $X^3$, mentre l'anello che stiamo considerando è l'anello dei polinomi a coefficienti in $mathbb(F_2)$. Siamo in un anello euclideo e pertanto possiamo fare la divisione tra polinomi.
I rappresentanti di questo anello quoziente $ R=mathbb(F_2)[x]\\X^3 $ sono i resti della divisione per $X^3$.
E la classe $overline(0)$ individua esattamente i polinomi che divisi per $X^3$ danno resto pari a $0$.
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