Dimostrazione isomorfismo tra due gruppi
ciao a tutti,
ho il seguente problema da risolvere e probabilmente non ci riesco perché non mi è chiaro qualcosa sui gruppi e sull'isomorfismo.
Mi è stato chiesto di dimostrare che dato un gruppo $G$ definito come:
$\langle a \rangle = {a^x:x\in \mathbb{Z}}$.
Dovrei dimostrare che c'è un isomorfismo tra gruppi $(\mathbb{Z},+,0) \rightarrow \langle a \rangle$.
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie 1000
ho il seguente problema da risolvere e probabilmente non ci riesco perché non mi è chiaro qualcosa sui gruppi e sull'isomorfismo.
Mi è stato chiesto di dimostrare che dato un gruppo $G$ definito come:
$\langle a \rangle = {a^x:x\in \mathbb{Z}}$.
Dovrei dimostrare che c'è un isomorfismo tra gruppi $(\mathbb{Z},+,0) \rightarrow \langle a \rangle$.
Qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie 1000
Risposte
Sperando di non prendere alcun abbaglio (sono nuovo a questa materia):
Il gruppo $(G,\cdot)$ è un gruppo ciclico. Infatti $G= \langle a \rangle $, con $a in G$.
L'isomorfismo è dato dalla seguente applicazione \( \phi:Z \rightarrow G, n\mapsto a^{n} \).
Tale applicazione è sicuramente suriettiva perché ogni elemento di $G$ è di forma $a^{n}=phi(n)$, per un $n in ZZ$. Inoltre se $n!=m$, allora $a^n!=a^m$, cioè: $phi(n)!=phi(m)$. E questo comporta l'iniettività
Resta da verificare che tale applicazione sia un omomorfismo: pigliamo due $m,n in ZZ$ e facciamo la seguente operazione: $phi(m+n)=a^{m+n}=a^{m}*a^{n}=phi(m)* phi(n)$.
Abbiamo quindi mostrato che i gruppi $(G,*)$ e $(ZZ,+)$ sono isomorfi, e si scrive $(G,*) \cong(ZZ,+)$
Il gruppo $(G,\cdot)$ è un gruppo ciclico. Infatti $G= \langle a \rangle $, con $a in G$.
L'isomorfismo è dato dalla seguente applicazione \( \phi:Z \rightarrow G, n\mapsto a^{n} \).
Tale applicazione è sicuramente suriettiva perché ogni elemento di $G$ è di forma $a^{n}=phi(n)$, per un $n in ZZ$. Inoltre se $n!=m$, allora $a^n!=a^m$, cioè: $phi(n)!=phi(m)$. E questo comporta l'iniettività
Resta da verificare che tale applicazione sia un omomorfismo: pigliamo due $m,n in ZZ$ e facciamo la seguente operazione: $phi(m+n)=a^{m+n}=a^{m}*a^{n}=phi(m)* phi(n)$.
Abbiamo quindi mostrato che i gruppi $(G,*)$ e $(ZZ,+)$ sono isomorfi, e si scrive $(G,*) \cong(ZZ,+)$
ciao,
nell'esercizio che ho da fare c'è questo vincolo:
"Utilizzare il primo teorema di isomorfismo per i gruppi per dimostrare quanto segue, si assuma che a abbia periodo m pari a 0"
Sono riuscito a recuperare qualche appunto, sono uno studente lavoratore.
Questo quanto scritto:
sia $f: ZZ \rightarrow G$ un morfismo tra gruppi.
Verifico $f(x+y)=f(x)f(y)$, infatti $a^{x+y}=a^x*a^y$.
Sia su $ZZ$ una relazione di equivalenza $xRy \Leftrightarrow f(x)=f(y) \Leftrightarrow f(x*y^{-1})=1 \Leftrightarrow xy^{-1}\inKer(f)$,
cioè (credo abbia scritto) in $ZZ \Leftrightarrow x-y\in Ker(f)$. (Qui non ho capito)
$ker(f)$ è sottogruppo di $ZZ \Rightarrow $ è della forma $mZZ$ (Qui non ho capito).
Se $m=0$ $xRy \Leftrightarrow x-y \in{0} \Leftrightarrow a^x=a^y$, quindi le potenze sono distinte (Qui non ho capito).
$f$ è iniettiva poi continua per la suriettività. Ma prima vorrei capire questi passaggi.
Cosa ne pensi\pensate?
nell'esercizio che ho da fare c'è questo vincolo:
"Utilizzare il primo teorema di isomorfismo per i gruppi per dimostrare quanto segue, si assuma che a abbia periodo m pari a 0"
Sono riuscito a recuperare qualche appunto, sono uno studente lavoratore.
Questo quanto scritto:
sia $f: ZZ \rightarrow G$ un morfismo tra gruppi.
Verifico $f(x+y)=f(x)f(y)$, infatti $a^{x+y}=a^x*a^y$.
Sia su $ZZ$ una relazione di equivalenza $xRy \Leftrightarrow f(x)=f(y) \Leftrightarrow f(x*y^{-1})=1 \Leftrightarrow xy^{-1}\inKer(f)$,
cioè (credo abbia scritto) in $ZZ \Leftrightarrow x-y\in Ker(f)$. (Qui non ho capito)
$ker(f)$ è sottogruppo di $ZZ \Rightarrow $ è della forma $mZZ$ (Qui non ho capito).
Se $m=0$ $xRy \Leftrightarrow x-y \in{0} \Leftrightarrow a^x=a^y$, quindi le potenze sono distinte (Qui non ho capito).
$f$ è iniettiva poi continua per la suriettività. Ma prima vorrei capire questi passaggi.
Cosa ne pensi\pensate?
1. Abbiamo trovato che $f(xy^(-1))=1$. Quindi abbiamo che $xy^(-1) in Ker(f)$. Ma siamo in $(ZZ,+)$ e l'operazione inversa è data dalla $-$. Pertanto si ha $x-y in Ker(f)$.
2. In $ZZ$ tutti i sottogruppi sono della forma $mZZ$. E' un fatto che si enuncia spesso dalla teoria.
2. In $ZZ$ tutti i sottogruppi sono della forma $mZZ$. E' un fatto che si enuncia spesso dalla teoria.
"feddy":
1. Abbiamo trovato che $f(xy^(-1))=1$. Quindi abbiamo che $xy^(-1) in Ker(f)$. Ma siamo in $(ZZ,+)$ e l'operazione inversa è data dalla $-$. Pertanto si ha $x-y in Ker(f)$.
Quindi posso passare da un Ker(f) nei due gruppi senza nessun problema?Una volta verificato uno, passo nell'altro?
2. In $ZZ$ tutti i sottogruppi sono della forma $mZZ$. E' un fatto che si enuncia spesso dalla teoria.
Perché quindi se $ m=0 $$ xRy \Leftrightarrow x-y \in{0} \Leftrightarrow a^x=a^y $, in particola modo, perché $x-y \in{0} $, grazie.
Nel senso che se $xRy$, da quanto detto prima "x=y" e quindi non ho il caso in cui se $a^x=a^y$ posso avere $x \ne y$.
Ho capito bene?
Sinceramente non ho capito molto bene la tua domanda. Non ti è chiara l'iniettività ?
Inoltre, con la tua notazione cosa intendi con "periodo $0$" ?
Inoltre, con la tua notazione cosa intendi con "periodo $0$" ?
ciao,
per periodo intendo quando $a^x=a^y$ con $x \ne y$. Meglio: dato un gruppo, diciamo:
$\langle a \rangle={a^x:x\inZZ}$. Per periodo $t$ intendo il più piccolo intero $t$ tale che $a^x=1$.
Non capisco perchè puoi passare alla $f^{-1}$ per definire il kernel.
Non dovrebbe essere $ker(f)={x \in G: f(x)=1_H}$, cioè l'elemento neutro dell'altro gruppo?
Forse mi manca qualche passaggio logico.
Grazie
per periodo intendo quando $a^x=a^y$ con $x \ne y$. Meglio: dato un gruppo, diciamo:
$\langle a \rangle={a^x:x\inZZ}$. Per periodo $t$ intendo il più piccolo intero $t$ tale che $a^x=1$.
Non capisco perchè puoi passare alla $f^{-1}$ per definire il kernel.
Non dovrebbe essere $ker(f)={x \in G: f(x)=1_H}$, cioè l'elemento neutro dell'altro gruppo?
Forse mi manca qualche passaggio logico.
Grazie
Ok, quello che io chiamo ordine, tu lo chiami periodo 
Comunque io non passo da nessuna $f^-1$. Proprio per definizione di nucleo, abbiamo trovato che $xy^{-1} in ker(f)R$. Infatto viene mandato in $1$.
ti invito a rielggere la mia prima dimostrazione in questa discussione. In quel caso ho assunto proprio il periodo $0$, e l'iniettività e la suriettività si mostrano velocemente
Comunque io non passo da nessuna $f^-1$. Proprio per definizione di nucleo, abbiamo trovato che $xy^{-1} in ker(f)R$. Infatto viene mandato in $1$.
ti invito a rielggere la mia prima dimostrazione in questa discussione. In quel caso ho assunto proprio il periodo $0$, e l'iniettività e la suriettività si mostrano velocemente
ciao,
grazie ho capito. Ho fatto tanta confuzione per nulla, una volta capito che l'operazione binaria in $ZZ$ è $+$ e cosa significa periodo nullo, tutto mi torna.
Grazie ancora
grazie ho capito. Ho fatto tanta confuzione per nulla, una volta capito che l'operazione binaria in $ZZ$ è $+$ e cosa significa periodo nullo, tutto mi torna.
Grazie ancora
Se posso,
potresti spiegermi perchè $G=\langle a \rangle$?
grazie ancora
potresti spiegermi perchè $G=\langle a \rangle$?
grazie ancora
Figurati, di nulla !
Quella notazione significa che il gruppo $G$ è generato da un solo elemento.
Quella notazione significa che il gruppo $G$ è generato da un solo elemento.
perfetto, grazie.
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