Principio di induzione
Devo fare un esercizio ma non ho capito qualcosa:
$\sum_{k=4}^n (2k-4) = n^2-3n$ con $n>=4$
Ho capito che devo prima verificare la base dell'induzione e poi fare il passo induttivo e ho capito che per farlo a n devo sostituire n+1 però non ho capito come si svolge l'esercizio dopo
$\sum_{k=4}^n (2k-4) = n^2-3n$ con $n>=4$
Ho capito che devo prima verificare la base dell'induzione e poi fare il passo induttivo e ho capito che per farlo a n devo sostituire n+1 però non ho capito come si svolge l'esercizio dopo
Risposte
Ti invito a postare un tentativo di risoluzione, o almeno un'idea, come da regolamento.
Soprattutto perché di esercizi come questi, in giro per il web, ce ne sono a carrettate, e per quel che riguarda le serie puoi trovare quello che vuoi.
Ad ogni modo, non è difficile: una volta digerito il procedimento, è abbastanza schematico:
Innanzitutto notiamo che l'indice $n$ parte da $4$.
Verifichiamo se piò trattarsi del caso base:
\( \sum_{n=4} 8-4 =4 = 16-12 \) Ok. La proposizione è vera per $n=4$. Si tratta del caso base [nota]Non sono stato molto preciso perché presumo che tu sappia come formalizzare il tutto[/nota]
Ora, proviamo che supponendo che la tesi valga per $n$ ciò implica che questa valga anche per $n+1$.
Innanzitutto hai questo:
\( \sum_{k=4}^{n+1}(2k-4)=\sum_{k=4}^{n}(2k-4) + 2(n+1)-4 \)
Ora, per ipotesi, tu sai che la tesi vale per $n$, perciò nella serie a secondo membro puoi sostituire l'espressione che conosci per $n$: [nota]non a caso si usa dire "per ipotesi induttiva..."[/nota]
\( \sum_{k=4}^{n+1}(2k-4)=n^2-3n + 2(n+1)-4 =n^2 -n-2 \) .
E quindi abbiamo finito: infatti l'ultima espressione è proprio \( (n+1)^2 - 3(n+1) \) .
Abbiamo quindi mostrato che supponendo la tesi valida per $n$, questo implica che essa vale anche per $n+1$.
Notte
Soprattutto perché di esercizi come questi, in giro per il web, ce ne sono a carrettate, e per quel che riguarda le serie puoi trovare quello che vuoi.
Ad ogni modo, non è difficile: una volta digerito il procedimento, è abbastanza schematico:
Innanzitutto notiamo che l'indice $n$ parte da $4$.
Verifichiamo se piò trattarsi del caso base:
\( \sum_{n=4} 8-4 =4 = 16-12 \) Ok. La proposizione è vera per $n=4$. Si tratta del caso base [nota]Non sono stato molto preciso perché presumo che tu sappia come formalizzare il tutto[/nota]
Ora, proviamo che supponendo che la tesi valga per $n$ ciò implica che questa valga anche per $n+1$.
Innanzitutto hai questo:
\( \sum_{k=4}^{n+1}(2k-4)=\sum_{k=4}^{n}(2k-4) + 2(n+1)-4 \)
Ora, per ipotesi, tu sai che la tesi vale per $n$, perciò nella serie a secondo membro puoi sostituire l'espressione che conosci per $n$: [nota]non a caso si usa dire "per ipotesi induttiva..."[/nota]
\( \sum_{k=4}^{n+1}(2k-4)=n^2-3n + 2(n+1)-4 =n^2 -n-2 \) .
E quindi abbiamo finito: infatti l'ultima espressione è proprio \( (n+1)^2 - 3(n+1) \) .
Abbiamo quindi mostrato che supponendo la tesi valida per $n$, questo implica che essa vale anche per $n+1$.
Notte
Sì però quella non è una serie.
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