Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Dimostrare che il gruppo simmetrico S5 contiene un elemento di ordine 6. Esibire n > 1 tale che il gruppo simmetrico Sn contiene un elemento di ordine $n^2$ Per la prima richiesta ho calcolato la cardinalita di S5 che e' 120 quindi tutti i possibili ordini di un elemento devono dividere 120 e 6 divide 120. In Sn so che un elemento per avere ordine 6 o e' un 6-ciclo o e' un prodotto di cicli disgiunti in cui l'mcm tra i loro ordini e' sei. So che non esiste nessun 6-ciclo in S5 ...

sono gli es. 2,3 e 9 a pagina 49 2)G gruppo in cui l'intersezione di tutti i sottogruppi diversi da (e) è un sottogruppo diverso da e. tesi: ogni elemento di G ha ordine finito 3)G non ha sottogruppi non banali=> G è finito e ha ordine primo 9) H sgr di G tale che se Ha diverso da Hb allora aH diverso da bH. tesi:gHg^-1 contenuto in H per ogni g in G. Scusate se non scrivo in tex ma non è indispensabile.... Ho già letto tutto il libro e fatto tutti gli esercizi che ci sono dentro, sto facendo ...

Sia $ V=R^(2) $ e sia $ W$ il sottospazio generato da $(2,1)$.Sia $U$ il sottospazio generato da $(0,1)$. Dimostrare che $V$ è somma diretta di $U$ e $W$. Se poi $U'$ è il sottospazio generato da $(1,1)$, dimostrare che $V$ è anche somma diretta di $W$ $U'$ potreste aiutarmi per favore?

Buongiorno a tutti sono da giorni fermo su questo quesito di matematica discreta. 1. Si dimostri per induzione che $ 9^(12h)-1 $ divisibile per $ 13 $ per ogni $ h>=0 $. 2. E' possibile dedurre il risultato ottenuto nel punto 1 come applicazione del teorema di Eulero-Fermat, invece che usando il principio di induzione? Nello specifico non saprei come svolgere il punto 2. Ho tentato una soluzione "artigianale" ma mi rendo conto che diverrebbe troppo informale Grazie

Riporto di seguito, letteralmente nel virgolettato, quanto trovato nel testo "Un invito all'algebra, Leonesi - Toffaroli" riguardo il Principio di Induzione completa, in quanto non riesco a convincermi della definizione, tantomeno della dimostrazione. "Sia $A$ un sottoinsieme di $N$ tale che, $\forall n \in \mathbb{N}$, se ${m \in \mathbb{N} | m<n} \subseteq A$, allora $n \in A$. Allora $A=\mathbb{N}$ Dimostrazione. Se $A \ne \mathbb{N}, A-\mathbb{N} \ne \emptyset$ e dunque ha minimo $n$. Così ...

Buongiorno, stavo riguardando la Teoria di Galois sul Bosch, quando ad un certo punto fa un esempio del gruppo di Galois di del polinomio $f=(X^2 -a)^2 -b$, con $b>a^2$. Esempi concreti sono $X^2-4X^2 -6$ o $X^4-2$. Le radici di $f$ in $CC$ sono $alpha=sqrt(a+sqrt(b)), -alpha, beta=sqrt(a-sqrt(b)), -beta$. Il campo di spezzamento di tale polinomio su $QQ$ è dato da $L=QQ(alpha,beta)$ e si vede che $[L]=8$. Ora, so che il gruppo di Galois $G=Gal(L//QQ)$ è ...

Testo: Sia $ K=mathbb(Z//3Z) $ e $ F=K[X]//(f) $ , dove $f$ è il polinomio $f:=X^2+X+2$ a)$F$ è campo? b)Si determini il grado dell’estensione$[F]$ c)Si elenchino gli elementi di $F$. d)Si scriva $f$ come prodotto di fattori lineari in F[x]. Sol.: a)$F$ è campo poiché $f$ è di grado 3 e irriducibile in $K$. b)Il grado dell'estensione è 2 e una sua base è data da ...

Salve a tutti, sono uno studente di informatica e sono in procinto di dare l'esame di matematica discreta. Per quanto fossi ferrato in matematica illo tempore, dopo anni ho quasi debellato tutto e mi trovo in difficoltà ad introdurmi nel corso causa lacune iniziali. Perciò vi chiedo di spiegarmi gentilmente e come se lo stesse spiegando ad un bambino quanto vi scrivo: In primis, quando esce "approssimato per difetto", per sempio [4,8]=4 (immaginate le quadre senza stanghette sopra ovviamente, ...

Buongiorno devo dimostrare questo enunciato ma non trovo nessuno modo per farlo, si trova tra gli esercizi sui domini euclidei ma proprio non vedo il collegamento Sia $p$ un numero primo diverso da $3$. Dimostrare che $p=x^2+xy+y^2$ per certi $x,y\in\mathbb[Z]$ se e solo se $p\equiv1(mod 3)$ So che non si dovrebbe postare un esercizio senza scrivere almeno una propria idea ma non so proprio che fare

Ho trovato argomenti che già trattavano il problema ma dovrei risolverlo senza usare Lagrange. Devo dimostrare che se un gruppo ha tre/quattro elementi allora è abeliano. Ho provato questo svolgimento senza voler presupporre esplicitamente che ogni elemento è l'inverso di se stesso. $G={e,a,b}$ Se $ab=a \Rightarrow b=e$ ma allora $G$ avrebbe due elementi ${e=b,a}$ contro l'ipotesi iniziale. Se $ab=b \Rightarrow a=e$ ma allora $G$ avrebbe ancora due elementi ...

Ho cercato il problema ma invano, spero non sia un doppione. Sia $G$ un insieme non vuoto, chiuso rispetto ad un prodotto che sia associativo e che soddisfi inoltre le seguenti condizioni: (a) Esiste un elemento $e$ tale che $ae=a$, per ogni $a \in G$. (b) Dato $a \in G$ esiste un elemento $y(a) \in G$ tale che $ay(a)=e$. Dimostrare che allora G è un gruppo rispetto a questo prodotto. Ho trovato una soluzione ...

Salve, ho questo esercizio: ' Scrivere $x^2 y^2 + y^2 z^2 + z^2 x^2$ come polinomio nei polinomi simmetrici elementari. Io l'ho risolto cosi, ma non so se e' giusto f- $S^2$ (parlo d i S2 ma ho problemi nello scriverlo) = $x^2 y^2 + y^2 z^2 +z^2 x^2$ - $(xy + yz+ zx)^2$ = $-2x y^2 z$ - $-2 x^2 y z$ - $-2 x y z^2$ A questo punto ho f- 2S1S3 = 0 Il risultato finale e' quindi che il polinomio f si scrive come $S^2$ 2 - 2S1S3 Mi scuso se la forma non e' corretta ma sto cercando ...

Salve a tutti, ho una difficoltà a risolvere una congruenza. Riporto di seguito il testo: $ 11^17$ $(mod 1157)$ Considerando che $d(11, 1157) = 1$, posso applicare il teorema di eulero: $11^(\varphi(n)) \equiv 1 (mod 1157)$ Ora sapendo che $1157 = 13\cdot89$, calcoliamo $\varphi(n) = 13^(1-1)\cdot89^(1-1)\cdot(89-1)\cdot(13-1) = 88\cdot12 = 1056$ Quindi risulta: $11^1056 \equiv 1 (mod 1157)$ Scrivo $11^17 = (11^0)^1056 \cdot 11^17$ A questo punto sostituendo $(11^0)^1056$ con $1$ mi ritrovo davanti alla congruenza di partenza. Qualcuno sa dove sbaglio? Grazie

Volevo chiedere un parere sullo svolgimento del seguente esercizio (3 punti), che credo di avere risolto correttamente. Sia $G$ un gruppo che agisce su un insieme $X$. Fissato $g \in G$ si definisca la mappa $\theta_g : X -> X$, $\theta_g (x) = g * x$. Si definisca inoltre $f: G -> S_X$, $f(g) = \theta_g$, dove $S_X$ è il gruppo delle permutazioni di $X$. 1) Per mostrare che $f$ è un omomorfismo: $f(g_1 \circ g_2) (x) = \theta_{g_1 g_2} (x) = (g_1 g_2) * x = g_1 * (g_2 * x) = g_1 * \theta_{g_2} (x) = \theta_{g_1} ( \theta_{g_2} (x) ) = ( \theta_{g_1} \circ \theta_{g_2} ) (x) = f(g_1 ) \circ f(g_2 ) (x)$ 2) ...

Mi aiutereste con questo esercizio: Sia R la relazione di equivalenza su A={1,2,3,4,5,6} definita ponendo R= {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(1,4),(1,5),(4,5),(2,6),(5,1),(5,4),(6,2),(4,1)} Scrivere l'insieme quoziente A/R Non riesco proprio a capire la relazione di equivalenza

Salve mi sono imbattuto in questo esercizio : Determinare l’ordine del gruppo (Z*13, ·). Determinare se il gruppo `e ciclico. Determinare l’ordine di tutti i suoi elementi. Ho risolto da solo questo esercizio è 2 è generatore e successivamente mi sono calcolato gli ordini degli altri elementi. Volevo sapere se effettivamente 2 sia generatore

Salve! Avrei una curiosità sui gruppi abeliani finiti, è la seguente: Sia $G$ gruppo abeliano finito, allora per ogni $d$ tale che $d||G|$ esiste $H<G$ tale che $|H|=d$. È vero? Io, a senso, direi di si. Una traccia di una possibile dimostrazione secondo me potrebbe essere questa: Consideriamo $|G|=p_1^(a_1)*p_2^(a_2)*...*p_n^(a_n)$, allora per Cauchy per ogni $p_i$ esiste $x_i in G$ tale che $o(x_i)=p_i$ e quindi posso ...

Salve mi sto preparando per un esame e purtroppo non riesco a risolvere tale esercizio : Esercizio 3. Sia assegnata sull’insieme A = R ⇥ R la seguente operazione ⇤ : A ⇥ A x A, tale che per ogni (a,x),(b,y) appartenente ad A : (a,x)*(b,y)=(2/5ab , 3/4+y+x) (1) Determinare se l’operazione è associativa. (2) Determinare se l’operazione è commutativa. (3) Determinare, se esiste, l’elemento neutro della struttura algebrica (A, ⇤). (4) Determinare in modo esplicito, se esiste, l’inverso di (2, ...

Buonasera, avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio... Sia f: Z/ ≡18 → Z/ ≡3 definita da f[a]18 = [a]3 per ogni classe [a]18 in Z/ ≡18 . Provare che: 4.1. La funzione f è ben definita 4.2 f è un morfismo di anelli Determinare inoltre: 4.3 Ker f e Im f 4.4 Descrivere il quoziente di Z/ ≡18 modulo la relazione individuata da f. Qualcuno potrebbe postare la soluzione??? Ringrazio in anticipo chiunque mi aiuti

Non riesco a trovare in rete la classificazione dei gruppi normali del generico gruppo diedrale di ordine n. Qualcuno conosce delle note o dispense in cui trovarla?