Quadrati in un campo Z/pZ

[diedro]

ciao a tutti,

dovrei fare la seguente dimostrazione, ma non ci riesco:

Sia $p$ un numero primo dispari, e sia $F=ZZ \setminus pZZ ={0,1...,p-1}$. Si mostri che:
se $p\equiv 1(mod4)$ allora $a\inF^{\star}$ è quadrato se e solo se $-a$ lo è;
se $p\equiv 3(mod4)$ allora $a\inF^{\star}$ è quadrato o $-a$ lo è, ma non possono eseerlo entrambi;

Avete qualche suggerimento?
Vi ringrazio moltissimo fin da ora

[Studente Anonimo]

Supponi di sapere il seguente fatto (che corrisponde esattamente al tuo problema nel caso $a=1$):
FATTO: se $p$ è un primo dispari allora $-1$ è un quadrato in $ZZ//pZZ$ se e solo se $p$ è congruo a $1$ modulo $4$.
Sapendo questo la dimostrazione che devi fare diventa molto facile, riesci a farla?
Se ci riesci, poi il problema sarà ridotto a dimostrare il FATTO.

PS. Quando proponi un esercizio è utile fornire un contesto. Per esempio, noi non abbiamo idea di cosa sai già e cosa non sai, per esempio il FATTO potresti già saperlo ma noi non ne siamo a conoscenza.

[diedro]

ciao,
ha ragione. Scusate,
quello che so io è che se p è somma di due quadrati, allora $ p\equiv 1(mod4) $ e se invece è irriducibile, allora $ p\equiv 3(mod4) $. Poi so che $-1$ è un quadrato se e solo se $ p\equiv 1(mod4) $, poi non saprei come procedere. Grazie infinite.