Dimostrazione Herstein
Ho cercato il problema ma invano, spero non sia un doppione.
Sia $G$ un insieme non vuoto, chiuso rispetto ad un prodotto che sia associativo e che soddisfi inoltre le seguenti condizioni:
(a) Esiste un elemento $e$ tale che $ae=a$, per ogni $a \in G$.
(b) Dato $a \in G$ esiste un elemento $y(a) \in G$ tale che $ay(a)=e$.
Dimostrare che allora G è un gruppo rispetto a questo prodotto.
Ho trovato una soluzione qui:http://www1.mat.uniroma1.it/people/dandrea/didattica/algebra2-04/soluzioni_esercizi_gruppi.pdf ma non mi ha convinto, o meglio, secondo me sarebbe sufficiente procedere in questo modo:
Per evitare di aprire e chiudere troppe parentesi $a^-1=y(a)$. Dunque:
$a^-1=a^-1e=a^-1(aa^-1)=(a^-1a)a^-1$ quindi $a^-1=(a^-1a)a^-1 \Rightarrow a^-1a=e$
Semplice poi verificare anche che $ae=ea=a$
Il problema arriva quando mi si chiede di dimostrare che la suddetta conclusione è falsa se supponiamo invece che:
(a) Esiste un elemento $e$ tale che $ae=a$, per ogni $a \in G$.
(b) Dato $a \in G$ esiste un elemento $y(a) \in G$ tale che $y(a)a=e$.
Per comodità di scrittura ancora $a^-1=y(a)$. Dunque:
$a=ae=a(a^-1a)=(aa^-1)a \Rightarrow aa^-1=e$
Perché ? eppure mi fila cosi liscia la questione
Sia $G$ un insieme non vuoto, chiuso rispetto ad un prodotto che sia associativo e che soddisfi inoltre le seguenti condizioni:
(a) Esiste un elemento $e$ tale che $ae=a$, per ogni $a \in G$.
(b) Dato $a \in G$ esiste un elemento $y(a) \in G$ tale che $ay(a)=e$.
Dimostrare che allora G è un gruppo rispetto a questo prodotto.
Ho trovato una soluzione qui:http://www1.mat.uniroma1.it/people/dandrea/didattica/algebra2-04/soluzioni_esercizi_gruppi.pdf ma non mi ha convinto, o meglio, secondo me sarebbe sufficiente procedere in questo modo:
Per evitare di aprire e chiudere troppe parentesi $a^-1=y(a)$. Dunque:
$a^-1=a^-1e=a^-1(aa^-1)=(a^-1a)a^-1$ quindi $a^-1=(a^-1a)a^-1 \Rightarrow a^-1a=e$
Semplice poi verificare anche che $ae=ea=a$
Il problema arriva quando mi si chiede di dimostrare che la suddetta conclusione è falsa se supponiamo invece che:
(a) Esiste un elemento $e$ tale che $ae=a$, per ogni $a \in G$.
(b) Dato $a \in G$ esiste un elemento $y(a) \in G$ tale che $y(a)a=e$.
Per comodità di scrittura ancora $a^-1=y(a)$. Dunque:
$a=ae=a(a^-1a)=(aa^-1)a \Rightarrow aa^-1=e$
Perché ? eppure mi fila cosi liscia la questione
Risposte
"algibro":L'implicazione non è vera, perché non è supposto che \(\displaystyle G\) sia una struttura regolare a destra!
... Dunque:
$a^-1=a^-1e=a^-1(aa^-1)=(a^-1a)a^-1$ quindi $a^-1=(a^-1a)a^-1 \Rightarrow a^-1a=e$...
"j18eos":L'implicazione non è vera, perché non è supposto che \(\displaystyle G\) sia una struttura regolare a destra![/quote]
[quote="algibro"]... Dunque:
$a^-1=a^-1e=a^-1(aa^-1)=(a^-1a)a^-1$ quindi $a^-1=(a^-1a)a^-1 \Rightarrow a^-1a=e$...
cioè, se tra le ipotesi abbiamo che solo $ae=a$ non possiamo scrivere che $a^-1=(a^-1a)a^-1=ea^-1$, giusto !?
allora mi devo muovere in altra maniera...
grazie !
Parti da \(\displaystyle(a^{-1}a)^2\)...
"j18eos":
Parti da \(\displaystyle(a^{-1}a)^2\)...
$(a^-1a)^2=(a^-1a)(a^-1a)=a^-1aa^-1a=a^-1(aa^-1)a=a^-1ea=a^-1a$
a questo potrei anche scrivere:
$a^-1=a^-1e=a^-1(aa^-1)=a^-1aa^-1=(a^-1a)a^-1=(a^-1a)(a^-1a)a^-1=a^-1aa^-1(aa^-1)=a^-1aa^-1e=(a^-1a)a^-1$
corretto ?
in generale mi chiedo se mi debba venire in mente come in questo caso un ragionamento specifico, che mi hai gentilmente suggerito, e che mi sblocchi la dimostrazione, oppure debba andare a tentativi... magari con l'esperienza ed esercizi mi verrà naturale capire da solo come partire...
comunque grazie ancora, ciao.
Tutto corretto, ma la seconda riga è inutile...
Sei arrivato all'eguaglianza \(\displaystyle b^2=(a^{-1}a)^2=a^{-1}a=b\); da ciò moltiplichi a destra per \(\displaystyle b^{-1}\) ambo i membri ed ottieni \(\displaystyle a^{-1}a=b=e\).
Non ti saprei rispondere appieno alle tue domande; ma t'assicuro che "la pratica rende perfetti".
Sei arrivato all'eguaglianza \(\displaystyle b^2=(a^{-1}a)^2=a^{-1}a=b\); da ciò moltiplichi a destra per \(\displaystyle b^{-1}\) ambo i membri ed ottieni \(\displaystyle a^{-1}a=b=e\).
Non ti saprei rispondere appieno alle tue domande; ma t'assicuro che "la pratica rende perfetti".
"j18eos":
Tutto corretto, ma la seconda riga è inutile...
Sei arrivato all'eguaglianza \(\displaystyle b^2=(a^{-1}a)^2=a^{-1}a=b\); da ciò moltiplichi a destra per \(\displaystyle b^{-1}\) ambo i membri ed ottieni \(\displaystyle a^{-1}a=b=e\).
Non ti saprei rispondere appieno alle tue domande; ma t'assicuro che "la pratica rende perfetti".
certo, grazie mille
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