Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Sto affrontando questo problema che è contrassegnato da un asterisco di difficoltà, ma siccome mi sembra che la soluzione sia abbastanza scontata vorrei capire dove sto sbagliando (autostima a livelli minimi...).
Se $H$ è un sottogruppo di indice finito in $G$, dimostrare che esiste solo un numero finito di sottogruppi della forma $aHa^{-1}$
$\exists k \in \mathbb{N} | ko(H)=o(G)$
quindi esiste un numero finito di laterali del tipo $Ha={ha |h \inH}$, esattamente ne esistono ...
Sia $G={e,a,b,...,z}$ un gruppo di ordine finito con $o(G)=n$
e sia $(a)={a^i | i \in \mathbb{Z}} = {a^0, a^1, a^2,...,a^{m-1}}$ il sottogruppo ciclico generato da $a$ con $o(a)=m$
Ovviamente $m|n$ e $a^m=e$
Sia quindi, con $ (a^r)={(a^r)^i | i \in \mathbb{Z}}= {(a^r)^0, (a^r)^1, (a^r)^2,...,(a^r)^{q-1}}$ il sottogruppo ciclico di $(a)$ generato da $(a^r)$ per un qualche $r \in \mathbb{N}$, con $o(a^r)=q$
Abbiamo che $q|m$ e $q|n$, inoltre $(a^r)^q=e=a^{rq}=a^m$
Ma allora possiamo dire che ...
Ragazzi è da un paio di giorni che ho una sorta di fissaziome sui quantificatori logici. Sui libri non trovo una vera e propria definizione. Dopo un po' di pensate, ho detto
$[exists x in A, varphi(x)] iff bigvee_{z in A} varphi(z)$.
Per il quantificatore universale
$[forall x in A, varphi(x)] iff bigwedge_{z in A} varphi(z)$.
Volevo sapere se questa definizione l' avete riscontrata da qualche parte o se va bene.
ID
studiando i polinomi non mi piace affatto la def. intuitiva di polinomio che si da, pertanto mi chiedevo se esiste un modo meno naive di definire un polinomio. Ugualmente mi chiedevo la stessa cosa per la def. di equazione e di sistema di eq lineari..
Buongiorno a tutti, oggi mi sono imbattutto in questo dubbio:
so che, dato un campo $mathbb{K}$, se considero l'applicazione $epsilon: mathbb{K}[X] rightarrow mathbb{K}$ t.c $sum a_iX^i mapsto a_0$, che ha $ker(epsilon)=(X)$, ho che $mathbb{K}[X]//(X) cong mathbb{K}$, e dal momento che $mathbb{K}$ è un campo, allora pure $mathbb{K}[X]//(X)$ è campo.
Non riesco a trovare una spiegazione formale a questo fatto: perché se l'anello quoziente è isomorfo a un campo, allora necessariamente deve essere un campo pure lui? Credo che si debba ...
Ciao a tutti, ho un esercizio da risolvere che dice: dimostrare che l'unico sottogruppo normale di SU(2) è ${\pm I}$
Ho provato calcolando ma non sono certo sia la via migliore, avete qualche suggerimento?
Chiedo conferma sul seguente esercizio tratto dallo Jacobson, Basica Algebra 1, pag. 126.
Show that $sqrt(3) notin mathbb{Q}[sqrt(2)]$ and that $u=sqrt(3) +sqrt(2)$ is algebraic over $mathbb{Q}$ and determine an ideal $I$ such that $mathbb{Q}[X]//I cong mathbb{Q}<span class="b-underline">$
Sol.:
$mathbb{Q}[sqrt(2)]={a+bsqrt(2): a,b in QQ}$, perciò si tratta di determinare $a,b$ razionali tali che $a+bsqrt(2)=sqrt(3)$. Sviluppando i conti si trova che $sqrt(2)=(3-a^2-2b^2)/(2ab)$, ma ciò è assurdo poiché $sqrt(2)$ è irrazionale. ...
Salve
Ho un po' di difficoltà con il seguente esercizio:
Sia $p$ un numero primo e $q = 2^p - 1$ un numero primo di Mersenne, dimostrare che un gruppo $G$ di cardinalità $2^pq$ ammette un unico $2-sylow$ o un unico $q-sylow$( o inclusivo)
Chiaramente se $p = 2$ e $q = 3$ ho la tesi, supponiamo $p != 2$,
Tralasciando questo caso banale non saprei come procedere: ho provato a ...
Salve, mi chiedevo se nei numeri irrazionali come ad esempio prendiamo il caso del Pi greco, tra le infinite cifre decimali, c'è la possibilità di trovare una stringa di cifre come potrebbe essere ad esempio il mio numero di cellulare?
Ciao a tutti,
ho questa tabella di verità che descrive una funzione di quattro variabili booleane:
CD | 00 | 01 | 11 | 10
AB | | | |
------+----+----+----+----
00 | 1 | 1 | 0 | 0
------+----+----+----+----
01 | 0 | 1 | 1 | 0
------+----+----+----+----
11 | 0 | 1 | 1 | 0
------+----+----+----+----
10 | 0 | 1 | 1 | 0
------+----+----+----+----
Devo descrivere la funzione booleana f in forma di somma di prodotti equivalente ...
Wwwwwe.
Sia $G={((a,b),(c,d))inM_2(ZZ_p)|adnebc}$ un gruppo rispetto all'usuale prodotto matriciale(righe per colonne).
Dire che ordine ha $G$.
Allora sono arrivato a un fine, ma in maniera un po' contorta e spero qualcuno possa darmi altre strade.
Considero $H={((a,b),(c,d))inM_2(ZZ_p)|a,b,c,d inZZ_p}$
Ora $|H|=p^4$ poiché posso disporre con ripetizione $p$ elementi in ogni entrata.
Ora tutte le matrici del tipo $((a,b),(c,d))$ possono avere determinante nullo o non nullo.
Chiamo ...
Salve , conosco la definizione di insieme non numerabile , ma non mi è chiaro
perchè Q è numerabile e R invece non lo è .
Inoltre che implicazioni porta il fatto che R non è numerabile ?
Grazie
Dimostrare che il gruppo simmetrico S5 contiene un elemento di ordine 6. Esibire n > 1 tale che il gruppo simmetrico Sn contiene un elemento di ordine $n^2$
Per la prima richiesta ho calcolato la cardinalita di S5 che e' 120 quindi tutti i possibili ordini di un elemento devono dividere 120 e 6 divide 120. In Sn so che un elemento per avere ordine 6 o e' un 6-ciclo o e' un prodotto di cicli disgiunti in cui l'mcm tra i loro ordini e' sei. So che non esiste nessun 6-ciclo in S5 ...
sono gli es. 2,3 e 9 a pagina 49
2)G gruppo in cui l'intersezione di tutti i sottogruppi diversi da (e) è un sottogruppo diverso da e. tesi: ogni elemento di G ha ordine finito
3)G non ha sottogruppi non banali=> G è finito e ha ordine primo
9) H sgr di G tale che se Ha diverso da Hb allora aH diverso da bH. tesi:gHg^-1 contenuto in H per ogni g in G.
Scusate se non scrivo in tex ma non è indispensabile....
Ho già letto tutto il libro e fatto tutti gli esercizi che ci sono dentro, sto facendo ...
Sia $ V=R^(2) $ e sia $ W$ il sottospazio generato da $(2,1)$.Sia $U$ il sottospazio generato da $(0,1)$. Dimostrare che $V$ è somma diretta di $U$ e $W$. Se poi $U'$ è il sottospazio generato da $(1,1)$, dimostrare che $V$ è anche somma diretta di $W$ $U'$
potreste aiutarmi per favore?
Buongiorno a tutti
sono da giorni fermo su questo quesito di matematica discreta.
1. Si dimostri per induzione che $ 9^(12h)-1 $ divisibile per $ 13 $ per ogni $ h>=0 $.
2. E' possibile dedurre il risultato ottenuto nel punto 1 come applicazione del teorema di Eulero-Fermat, invece che usando il principio di induzione?
Nello specifico non saprei come svolgere il punto 2.
Ho tentato una soluzione "artigianale" ma mi rendo conto che diverrebbe troppo informale
Grazie
Riporto di seguito, letteralmente nel virgolettato, quanto trovato nel testo "Un invito all'algebra, Leonesi - Toffaroli" riguardo il Principio di Induzione completa, in quanto non riesco a convincermi della definizione, tantomeno della dimostrazione.
"Sia $A$ un sottoinsieme di $N$ tale che, $\forall n \in \mathbb{N}$, se ${m \in \mathbb{N} | m<n} \subseteq A$, allora $n \in A$.
Allora $A=\mathbb{N}$
Dimostrazione. Se $A \ne \mathbb{N}, A-\mathbb{N} \ne \emptyset$ e dunque ha minimo $n$. Così ...
Buongiorno,
stavo riguardando la Teoria di Galois sul Bosch, quando ad un certo punto fa un esempio del gruppo di Galois di del polinomio $f=(X^2 -a)^2 -b$, con $b>a^2$.
Esempi concreti sono $X^2-4X^2 -6$ o $X^4-2$.
Le radici di $f$ in $CC$ sono $alpha=sqrt(a+sqrt(b)), -alpha, beta=sqrt(a-sqrt(b)), -beta$.
Il campo di spezzamento di tale polinomio su $QQ$ è dato da $L=QQ(alpha,beta)$ e si vede che $[L]=8$.
Ora, so che il gruppo di Galois $G=Gal(L//QQ)$ è ...
Testo:
Sia $ K=mathbb(Z//3Z) $ e $ F=K[X]//(f) $ , dove $f$ è il polinomio
$f:=X^2+X+2$
a)$F$ è campo?
b)Si determini il grado dell’estensione$[F]$
c)Si elenchino gli elementi di $F$.
d)Si scriva $f$ come prodotto di fattori lineari in F[x].
Sol.:
a)$F$ è campo poiché $f$ è di grado 3 e irriducibile in $K$.
b)Il grado dell'estensione è 2 e una sua base è data da ...
Salve a tutti, sono uno studente di informatica e sono in procinto di dare l'esame di matematica discreta. Per quanto fossi ferrato in matematica illo tempore, dopo anni ho quasi debellato tutto e mi trovo in difficoltà ad introdurmi nel corso causa lacune iniziali. Perciò vi chiedo di spiegarmi gentilmente e come se lo stesse spiegando ad un bambino quanto vi scrivo:
In primis, quando esce "approssimato per difetto", per sempio [4,8]=4 (immaginate le quadre senza stanghette sopra ovviamente, ...
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