Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Vorrei verificare le mie risposte a delle domande generali sui gruppi di ordine $336$. Per prima cosa trovare tutti i gruppi abeliani di ordine $336$ a meno di isomorfismi. Si tratta di scrivere i possibili prodotti di p-gruppi ciclici. Dato che $336 = 2^4 \times 3 \times 7$, individuo le seguenti 5 possibilità: $C_{16} \times C_{3} \times C_{7}$, $C_{8} \times C_{2} \times C_{3} \times C_{7}$, $C_{4} \times C_{4} \times C_{3} \times C_{7}$, $C_{4} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{3} \times C_{7}$ e $C_{2} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{2} \times C_{3} \times C_{7}$. È possibile raggruppare i prodotti con indici primi tra loro, quindi per ...

Salve, ho un problema riguardante le serie di composizione di un gruppo infinito, in particolare $GL_2(RR)$ ovvero il gruppo delle matrici quadrate invertibili $2 \times 2$. Viene definito $N = \lambda I_2, \ \lambda \in RR^+$, dove $I_2$ è la matrice unità. L'esercizio chiede di provare che la serie subnormale $GL_2(RR) \ge N \ge \{ I_2 \}$ non ammette rifinimenti che la rendano una serie di composizione. Più in generale, mi sembra di capire che $GL_2(RR)$ non ammette serie di ...

Buonasera, stavo facendo qualche esercizio per impadronirmi di questo strumento: Siano $H, K$ due gruppi, $\phi, \psi: K \to Aut(H)$ omomorfismi, se esistono $\alpha \in Aut(H)$ e $\beta \in Aut(K)$ tali che $\forall k \in K$ si ha che $\alpha \circ \phi(k) \circ \alpha^-1 = \psi(\beta(k)) \forall h in H$ allora $H \rtimes_\phi K∼ H \rtimes_\psi K$ Quindi, per esempio, prendiamo $H = \mathbb{Z_25}$ e $K = \mathbb{Z_4}$, dato che $Aut(\mathbb{Z_25}) ∼ \mathbb{Z_25^{**}} ∼ \mathbb{Z_20}$ ho $(4, 20) = 4$ omomorfismi $\phi: \mathbb{Z_4} \to Aut(\mathbb{Z_25})$, identificando $Aut(\mathbb{Z_25})$ con ...

Sia $H$ un gruppo finito con un sottogruppo $K$ di ordine $5$, e sia $5$ il più piccolo divisore primo dell'ordine di $H$. Sia $X = \{ hK: h \in H \}$ l'insieme dei coset sinistri di $K$ in $H$ (quindi $K$ agisce su $X$ tramite moltiplicazione a sinistra). Dimostrare che ogni orbita di $X$ ha lunghezza $1$. Non riesco a trovarmi d'accordo con ...

Salve, questa sera ho provato a contare i sottogruppi $H$ di $G = \mathbb{Z_30} xx \mathbb{Z_60}$ di ordine $100$. In questi esercizi non ho quasi mai la più pallida idea di come procedere, per cui improvviso: innanzitutto porto $G$ nella forma canonica delle $p-$torsioni: $G ∼ (\mathbb{Z_2} xx \mathbb{Z_4} ) xx (\mathbb{Z_3} xx \mathbb{Z_3}) xx (\mathbb{Z_5} xx \mathbb{Z_5})$, noto che in $G$ non ci sono elementi né di ordine $100$ né di ordine $25$ dunque escludo a priori che ci siano sottogruppi isomorfi ...

Buongiorno ragazzi volevo chiedere un aiuto su questo esercizio Si consideri il gruppo Z/18Z rispetto alla somma di classi di resto. Si determini,per ciascun elemento, l’ordine e il sottogruppo ciclico che esso genera. Al momento ho determinato l'ordine del gruppo e ho trovato come generatore , inoltre grazie al Teorema di Lagrange ho come informazioni che i possibili sottogruppi sono di ordine (1,2,3,6,9,18), ed escludendo il gruppo di ordine 1 e 18 che sono rispettivamente l'identità e ...

Buongiorno a tutti Mi presento: sono uno studente alla magistrale di Fisica di 24 anni. Approdo su questo forum dopo un'amara delusione sul sito di math stackexchange, dove si ricevono insulti più o meno velati invece di aiuto e supporto se la domanda che si pone non appare chiara a chi ti risponde. Sono venuto qui alla ricerca di appoggio e chiarimenti. Detto questo, passo direttamente alla domanda. Nella teoria ZF è presente un assioma, l'assioma dell'insieme potenza, che mi garantisce ...

Ciao, in un esercizio mi si chiede: Siano $H<G, K<G$ di indice finito. Mostrare che $HnnK$ ha indice finito in G. Come si può limitare superiormente l'indice di $HnnK$ in G? Ora, io ho pensato che l'indice di un sottogruppo si comporta un po' come la dimensione per gli spazi vettoriali... Dato che l'insieme delle classi di equivalenza in un certo senso "genera" tutto $G$ e può essere quindi considerata una base di $G$ Però non riesco a ...

Sto affrontando questo problema che è contrassegnato da un asterisco di difficoltà, ma siccome mi sembra che la soluzione sia abbastanza scontata vorrei capire dove sto sbagliando (autostima a livelli minimi...). Se $H$ è un sottogruppo di indice finito in $G$, dimostrare che esiste solo un numero finito di sottogruppi della forma $aHa^{-1}$ $\exists k \in \mathbb{N} | ko(H)=o(G)$ quindi esiste un numero finito di laterali del tipo $Ha={ha |h \inH}$, esattamente ne esistono ...

Sia $G={e,a,b,...,z}$ un gruppo di ordine finito con $o(G)=n$ e sia $(a)={a^i | i \in \mathbb{Z}} = {a^0, a^1, a^2,...,a^{m-1}}$ il sottogruppo ciclico generato da $a$ con $o(a)=m$ Ovviamente $m|n$ e $a^m=e$ Sia quindi, con $ (a^r)={(a^r)^i | i \in \mathbb{Z}}= {(a^r)^0, (a^r)^1, (a^r)^2,...,(a^r)^{q-1}}$ il sottogruppo ciclico di $(a)$ generato da $(a^r)$ per un qualche $r \in \mathbb{N}$, con $o(a^r)=q$ Abbiamo che $q|m$ e $q|n$, inoltre $(a^r)^q=e=a^{rq}=a^m$ Ma allora possiamo dire che ...

Ragazzi è da un paio di giorni che ho una sorta di fissaziome sui quantificatori logici. Sui libri non trovo una vera e propria definizione. Dopo un po' di pensate, ho detto $[exists x in A, varphi(x)] iff bigvee_{z in A} varphi(z)$. Per il quantificatore universale $[forall x in A, varphi(x)] iff bigwedge_{z in A} varphi(z)$. Volevo sapere se questa definizione l' avete riscontrata da qualche parte o se va bene. ID

studiando i polinomi non mi piace affatto la def. intuitiva di polinomio che si da, pertanto mi chiedevo se esiste un modo meno naive di definire un polinomio. Ugualmente mi chiedevo la stessa cosa per la def. di equazione e di sistema di eq lineari..

Buongiorno a tutti, oggi mi sono imbattutto in questo dubbio: so che, dato un campo $mathbb{K}$, se considero l'applicazione $epsilon: mathbb{K}[X] rightarrow mathbb{K}$ t.c $sum a_iX^i mapsto a_0$, che ha $ker(epsilon)=(X)$, ho che $mathbb{K}[X]//(X) cong mathbb{K}$, e dal momento che $mathbb{K}$ è un campo, allora pure $mathbb{K}[X]//(X)$ è campo. Non riesco a trovare una spiegazione formale a questo fatto: perché se l'anello quoziente è isomorfo a un campo, allora necessariamente deve essere un campo pure lui? Credo che si debba ...

Ciao a tutti, ho un esercizio da risolvere che dice: dimostrare che l'unico sottogruppo normale di SU(2) è ${\pm I}$ Ho provato calcolando ma non sono certo sia la via migliore, avete qualche suggerimento?

Chiedo conferma sul seguente esercizio tratto dallo Jacobson, Basica Algebra 1, pag. 126. Show that $sqrt(3) notin mathbb{Q}[sqrt(2)]$ and that $u=sqrt(3) +sqrt(2)$ is algebraic over $mathbb{Q}$ and determine an ideal $I$ such that $mathbb{Q}[X]//I cong mathbb{Q}<span class="b-underline">$ Sol.: $mathbb{Q}[sqrt(2)]={a+bsqrt(2): a,b in QQ}$, perciò si tratta di determinare $a,b$ razionali tali che $a+bsqrt(2)=sqrt(3)$. Sviluppando i conti si trova che $sqrt(2)=(3-a^2-2b^2)/(2ab)$, ma ciò è assurdo poiché $sqrt(2)$ è irrazionale. ...

Salve Ho un po' di difficoltà con il seguente esercizio: Sia $p$ un numero primo e $q = 2^p - 1$ un numero primo di Mersenne, dimostrare che un gruppo $G$ di cardinalità $2^pq$ ammette un unico $2-sylow$ o un unico $q-sylow$( o inclusivo) Chiaramente se $p = 2$ e $q = 3$ ho la tesi, supponiamo $p != 2$, Tralasciando questo caso banale non saprei come procedere: ho provato a ...

Salve, mi chiedevo se nei numeri irrazionali come ad esempio prendiamo il caso del Pi greco, tra le infinite cifre decimali, c'è la possibilità di trovare una stringa di cifre come potrebbe essere ad esempio il mio numero di cellulare?

Ciao a tutti, ho questa tabella di verità che descrive una funzione di quattro variabili booleane: CD | 00 | 01 | 11 | 10 AB | | | | ------+----+----+----+---- 00 | 1 | 1 | 0 | 0 ------+----+----+----+---- 01 | 0 | 1 | 1 | 0 ------+----+----+----+---- 11 | 0 | 1 | 1 | 0 ------+----+----+----+---- 10 | 0 | 1 | 1 | 0 ------+----+----+----+---- Devo descrivere la funzione booleana f in forma di somma di prodotti equivalente ...

Wwwwwe. Sia $G={((a,b),(c,d))inM_2(ZZ_p)|adnebc}$ un gruppo rispetto all'usuale prodotto matriciale(righe per colonne). Dire che ordine ha $G$. Allora sono arrivato a un fine, ma in maniera un po' contorta e spero qualcuno possa darmi altre strade. Considero $H={((a,b),(c,d))inM_2(ZZ_p)|a,b,c,d inZZ_p}$ Ora $|H|=p^4$ poiché posso disporre con ripetizione $p$ elementi in ogni entrata. Ora tutte le matrici del tipo $((a,b),(c,d))$ possono avere determinante nullo o non nullo. Chiamo ...

Salve , conosco la definizione di insieme non numerabile , ma non mi è chiaro perchè Q è numerabile e R invece non lo è . Inoltre che implicazioni porta il fatto che R non è numerabile ? Grazie