Esercizio su gruppi di permutazioni

[enlob]

Non riesco a risolvere questo esercizio:

Siano date le permutazioni
$ alpha =( ( 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ),( 3 , 16, 15, 11, 8, 13, 10, 5, 6, 1, 2, 14, 9, 12, 7, 4 ) ) $
$ beta =( ( 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ),( 3 , 7, 14, 16, 12, 8, 11, 5, 15, 13, 10, 1, 4, 9, 6, 2 ) ) $
e sia H un sottogruppo di $ S_16 $ tale che $ {alpha, beta}sube H $. Provare che H contiene un sottogruppo di ordine 18.

Ora, se H è sottogruppo allora ha ordine un divisore di $ 16! $. Ma non capisco come sia possibile stabilire se l'ordine di H è sufficiente affinché 18 sia un suo divisore. Penso si riesca a dedurre dalla condizione $ {alpha, beta}sube H $ ma non capisco in che modo.

[enlob]

Ho fatto qualche progresso:

Semplicemente se le due permutazioni sono in H, allora il loro periodo deve essere un divisore dell'ordine di H. Il periodo di $ alpha $ è 60, quello di $ beta $ è 63. Quindi l'ordine di H deve essere un multiplo del $ mcm(60,63)=1260 $. $ 1260|16! $ infatti $ 1260=4*5*7*9 $ quindi va bene. Ora, $ 18|1260 $ ma se non sbaglio Lagrange dice che può esistere ma per dimostrare che esiste bisogna esibirlo.